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已知點(diǎn)（1，

1

3

）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．記數(shù)列{

1

bnbn+1

}前n項(xiàng)和為T(mén)_n，
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t²-2mt+

1

2

＞T_n恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍
（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時(shí)，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），又?jǐn)?shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+ a 2 n

，設(shè)b_n=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+…+

1

f(an)

．
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（2）求f（a_n）的表達(dá)式；
（3）是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N，都有b_n＜

m-8

4

成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．