題目列表(包括答案和解析)
兩根光滑的桿互相垂直地固定在一起，上面分別穿有一個小
|
夾角為α時，求兩小球實際速度之比va：vb= 。
兩根光滑的桿互相垂直地固定在一起，上面分別穿有一個小
|
夾角為α時，求兩小球實際速度之比va：vb= 。
第六部分 振動和波
第一講 基本知識介紹
《振動和波》的競賽考綱和高考要求有很大的不同，必須做一些相對詳細的補充。
一、簡諧運動
1、簡諧運動定義：
= －k
①
凡是所受合力和位移滿足①式的質點，均可稱之為諧振子，如彈簧振子、小角度單擺等。
諧振子的加速度：
= －
2、簡諧運動的方程
回避高等數學工具，我們可以將簡諧運動看成勻速圓周運動在某一條直線上的投影運動（以下均看在x方向的投影），圓周運動的半徑即為簡諧運動的振幅A 。
依據：
x = －mω2Acosθ= －mω2
對于一個給定的勻速圓周運動，m、ω是恒定不變的，可以令：
mω2 = k
這樣，以上兩式就符合了簡諧運動的定義式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是簡諧運動的相關規律。從圖1不難得出——
位移方程：
= Acos(ωt + φ) ②
速度方程：
= －ωAsin(ωt +φ) ③
加速度方程：
= －ω2A cos(ωt +φ) ④
相關名詞：(ωt +φ)稱相位，φ稱初相。
運動學參量的相互關系：
= －ω2
A = 
tgφ= －
3、簡諧運動的合成
a、同方向、同頻率振動合成。兩個振動x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2) 合成，可令合振動x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x1 + x2 ，解得
A = 
，φ= arctg 
顯然，當φ2－φ1 = 2kπ時（k = 0，±1，±2，…），合振幅A最大，當φ2－φ1 = （2k + 1）π時（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。
b、方向垂直、同頻率振動合成。當質點同時參與兩個垂直的振動x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)時，這兩個振動方程事實上已經構成了質點在二維空間運動的軌跡參數方程，消去參數t后，得一般形式的軌跡方程為
+
－2
cos(φ2－φ1) = sin2(φ2－φ1)
顯然，當φ2－φ1 = 2kπ時（k = 0，±1，±2，…），有y = 
x ，軌跡為直線，合運動仍為簡諧運動；
當φ2－φ1 = （2k + 1）π時（k = 0，±1，±2，…），有
+
= 1 ，軌跡為橢圓，合運動不再是簡諧運動；
當φ2－φ1取其它值，軌跡將更為復雜，稱“李薩如圖形”，不是簡諧運動。
c、同方向、同振幅、頻率相近的振動合成。令x1 = Acos(ω1t + φ)和x2 = Acos(ω2t + φ) ，由于合運動x = x1 + x2 ，得：x =（2Acos
t）cos（
t +φ）。合運動是振動，但不是簡諧運動，稱為角頻率為
的“拍”現象。
4、簡諧運動的周期
由②式得：ω= 
，而圓周運動的角速度和簡諧運動的角頻率是一致的，所以
T = 2π
⑤
5、簡諧運動的能量
一個做簡諧運動的振子的能量由動能和勢能構成，即
= 
mv2 + 
kx2 = 
kA2
注意：振子的勢能是由（回復力系數）k和（相對平衡位置位移）x決定的一個抽象的概念，而不是具體地指重力勢能或彈性勢能。當我們計量了振子的抽象勢能后，其它的具體勢能不能再做重復計量。
6、阻尼振動、受迫振動和共振
和高考要求基本相同。
二、機械波
1、波的產生和傳播
產生的過程和條件；傳播的性質，相關參量（決定參量的物理因素）
2、機械波的描述
a、波動圖象。和振動圖象的聯系
b、波動方程
如果一列簡諧波沿x方向傳播，振源的振動方程為y = Acos（ωt + φ），波的傳播速度為v ，那么在離振源x處一個振動質點的振動方程便是
y = Acos〔ωt + φ - 
·2π〕= Acos〔ω（t - 
）+ φ〕
這個方程展示的是一個復變函數。對任意一個時刻t ，都有一個y（x）的正弦函數，在x-y坐標下可以描繪出一個瞬時波形。所以，稱y = Acos〔ω（t - 
）+ φ〕為波動方程。
3、波的干涉
a、波的疊加。幾列波在同一介質種傳播時，能獨立的維持它們的各自形態傳播，在相遇的區域則遵從矢量疊加（包括位移、速度和加速度的疊加）。
b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時，在同一介質中的疊加將形成一種特殊形態：振動加強的區域和振動削弱的區域穩定分布且彼此隔開。
我們可以用波程差的方法來討論干涉的定量規律。如圖2所示，我們用S1和S2表示兩個波源，P表示空間任意一點。
當振源的振動方向相同時，令振源S1的振動方程為y1 = A1cosωt ，振源S1的振動方程為y2 = A2cosωt ，則在空間P點（距S1為r1 ，距S2為r2），兩振源引起的分振動分別是
y1′= A1cos〔ω（t ? 
）〕
y2′= A2cos〔ω（t ? 
）〕
P點便出現兩個頻率相同、初相不同的振動疊加問題（φ1 = 
，φ2 = 
），且初相差Δφ= 
（r2 – r1）。根據前面已經做過的討論，有
r2 ? r1 = kλ時（k = 0，±1，±2，…），P點振動加強，振幅為A1 + A2 ；
r2 ? r1 =（2k ? 1）
時（k = 0，±1，±2，…），P點振動削弱，振幅為│A1－A2│。
4、波的反射、折射和衍射
知識點和高考要求相同。
5、多普勒效應
當波源或者接受者相對與波的傳播介質運動時，接收者會發現波的頻率發生變化。多普勒效應的定量討論可以分為以下三種情況（在討論中注意：波源的發波頻率f和波相對介質的傳播速度v是恒定不變的）——
a、只有接收者相對介質運動（如圖3所示）
設接收者以速度v1正對靜止的波源運動。
如果接收者靜止在A點，他單位時間接收的波的個數為f ，
當他迎著波源運動時，設其在單位時間到達B點，則
= v1 ，、
在從A運動到B的過程中，接收者事實上“提前”多接收到了n個波
n = 
= 
= 
顯然，在單位時間內，接收者接收到的總的波的數目為：f + n = 
f ，這就是接收者發現的頻率f1 。即
f1 = 
f
顯然，如果v1背離波源運動，只要將上式中的v1代入負值即可。如果v1的方向不是正對S ，只要將v1出正對的分量即可。
b、只有波源相對介質運動（如圖4所示）
設波源以速度v2正對靜止的接收者運動。
如果波源S不動，在單位時間內，接收者在A點應接收f個波，故S到A的距離：
= fλ
在單位時間內，S運動至S′，即
= v2 。由于波源的運動，事實造成了S到A的f個波被壓縮在了S′到A的空間里，波長將變短，新的波長
λ′= 
= 
= 
= 
而每個波在介質中的傳播速度仍為v ，故“被壓縮”的波（A接收到的波）的頻率變為
f2 = 
= 
f
當v2背離接收者，或有一定夾角的討論，類似a情形。
c、當接收者和波源均相對傳播介質運動
當接收者正對波源以速度v1（相對介質速度）運動，波源也正對接收者以速度v2（相對介質速度）運動，我們的討論可以在b情形的過程上延續…
f3 = 
f2 = 
f
關于速度方向改變的問題，討論類似a情形。
6、聲波
a、樂音和噪音
b、聲音的三要素：音調、響度和音品
c、聲音的共鳴
第二講 重要模型與專題
一、簡諧運動的證明與周期計算
物理情形：如圖5所示，將一粗細均勻、兩邊開口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長為L 。當水銀受到一個初始的擾動后，開始在管中振動。忽略管壁對汞的阻力，試證明汞柱做簡諧運動，并求其周期。
模型分析：對簡諧運動的證明，只要以汞柱為對象，看它的回復力與位移關系是否滿足定義式①，值得注意的是，回復力
系指振動方向上的合力（而非整體合力）。當簡諧運動被證明后，回復力系數k就有了，求周期就是順理成章的事。
本題中，可設汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時位移為x 、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S ，則次瞬時的回復力
ΣF = ρg2xS = 
x
由于L、m為固定值，可令：
= k ，而且ΣF與x的方向相反，故汞柱做簡諧運動。
周期T = 2π
= 2π
答：汞柱的周期為2π
。
學生活動：如圖6所示，兩個相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置，繞各自的軸線等角速、反方向地轉動，在滾輪上覆蓋一塊均質的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L 、滾輪與木板之間的動摩擦因素為μ、木板的質量為m ，且木板放置時，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡諧運動，并求木板運動的周期。
思路提示：找平衡位置（木板重心在兩滾輪中央處）→ú力矩平衡和Σ?F6= 0結合求兩處彈力→ú求摩擦力合力…
答案：木板運動周期為2π
。
鞏固應用：如圖7所示，三根長度均為L = 2.00m地質量均勻直桿，構成一正三角形框架ABC，C點懸掛在一光滑水平軸上，整個框架可繞轉軸轉動。桿AB是一導軌，一電動松鼠可在導軌上運動。現觀察到松鼠正在導軌上運動，而框架卻靜止不動，試討論松鼠的運動是一種什么樣的運動。
解說：由于框架靜止不動，松鼠在豎直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設松鼠的質量為m ，即：
N = mg ①
再回到框架，其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點為轉軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ，它們合力矩為零，即：
MN = Mf
現考查松鼠在框架上的某個一般位置（如圖7，設它在導軌方向上距C點為x），上式即成：
N·x = f·Lsin60° ②
解①②兩式可得：f = 
x ，且f的方向水平向左。
根據牛頓第三定律，這個力就是松鼠在導軌方向上的合力。如果我們以C在導軌上的投影點為參考點，x就是松鼠的瞬時位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿足關系——
= －k
其中k = 
，對于這個系統而言，k是固定不變的。
顯然這就是簡諧運動的定義式。
答案：松鼠做簡諧運動。
評說：這是第十三屆物理奧賽預賽試題，問法比較模糊。如果理解為定性求解，以上答案已經足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以做進一步的定量運算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運動周期為：T = 2π
= 2π
= 2.64s 。
二、典型的簡諧運動
1、彈簧振子
物理情形：如圖8所示，用彈性系數為k的輕質彈簧連著一個質量為m的小球，置于傾角為θ
第一部分 力＆物體的平衡
第一講 力的處理
一、矢量的運算
1、加法
表達：
+ 
= 
。
名詞：
為“和矢量”。
法則：平行四邊形法則。如圖1所示。
和矢量大小：c = 
，其中α為
和
的夾角。
和矢量方向：
在
、
之間，和
夾角β= arcsin
2、減法
表達：
= 
－
。
名詞：
為“被減數矢量”，
為“減數矢量”，
為“差矢量”。
法則：三角形法則。如圖2所示。將被減數矢量和減數矢量的起始端平移到一點，然后連接兩時量末端，指向被減數時量的時量，即是差矢量。
差矢量大小：a = 
，其中θ為
和
的夾角。
差矢量的方向可以用正弦定理求得。
一條直線上的矢量運算是平行四邊形和三角形法則的特例。
例題：已知質點做勻速率圓周運動，半徑為R ，周期為T ，求它在
T內和在
T內的平均加速度大小。
解說：如圖3所示，A到B點對應
T的過程，A到C點對應
T的過程。這三點的速度矢量分別設為
、
和
。
根據加速度的定義 
= 
得：
= 
，
= 
由于有兩處涉及矢量減法，設兩個差矢量 
= 
－
，
= 
－
，根據三角形法則，它們在圖3中的大小、方向已繪出（
的“三角形”已被拉伸成一條直線）。
本題只關心各矢量的大小，顯然：
= 
= 
= 
，且：
= 
= 
，
= 2
= 
所以：
= 
= 
= 
，
= 
= 
= 
。
（學生活動）觀察與思考：這兩個加速度是否相等，勻速率圓周運動是不是勻變速運動？
答：否；不是。
3、乘法
矢量的乘法有兩種：叉乘和點乘，和代數的乘法有著質的不同。
⑴ 叉乘
表達：
×
= 
名詞：
稱“矢量的叉積”，它是一個新的矢量。
叉積的大小：c = absinα，其中α為
和
的夾角。意義：
的大小對應由
和
作成的平行四邊形的面積。
叉積的方向：垂直
和
確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖4所示。
顯然，
×
≠
×
，但有：
×
= －
×
⑵ 點乘
表達：
·
= c
名詞：c稱“矢量的點積”，它不再是一個矢量，而是一個標量。
點積的大小：c = abcosα，其中α為
和
的夾角。
二、共點力的合成
1、平行四邊形法則與矢量表達式
2、一般平行四邊形的合力與分力的求法
余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小
正弦定理解方向
三、力的分解
1、按效果分解
2、按需要——正交分解
第二講 物體的平衡
一、共點力平衡
1、特征：質心無加速度。
2、條件：Σ
= 0 ，或 
= 0 ，
= 0
例題：如圖5所示，長為L 、粗細不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標示，求橫桿的重心位置。
解說：直接用三力共點的知識解題，幾何關系比較簡單。
答案：距棒的左端L/4處。
（學生活動）思考：放在斜面上的均質長方體，按實際情況分析受力，斜面的支持力會通過長方體的重心嗎？
解：將各處的支持力歸納成一個N ，則長方體受三個力（G 、f 、N）必共點，由此推知，N不可能通過長方體的重心。正確受力情形如圖6所示（通常的受力圖是將受力物體看成一個點，這時，N就過重心了）。
答：不會。
二、轉動平衡
1、特征：物體無轉動加速度。
2、條件：Σ
= 0 ，或ΣM+ =ΣM-
如果物體靜止，肯定會同時滿足兩種平衡，因此用兩種思路均可解題。
3、非共點力的合成
大小和方向：遵從一條直線矢量合成法則。
作用點：先假定一個等效作用點，然后讓所有的平行力對這個作用點的和力矩為零。
第三講 習題課
1、如圖7所示，在固定的、傾角為α斜面上，有一塊可以轉動的夾板（β不定），夾板和斜面夾著一個質量為m的光滑均質球體，試求：β取何值時，夾板對球的彈力最小。
解說：法一，平行四邊形動態處理。
對球體進行受力分析，然后對平行四邊形中的矢量G和N1進行平移，使它們構成一個三角形，如圖8的左圖和中圖所示。
由于G的大小和方向均不變，而N1的方向不可變，當β增大導致N2的方向改變時，N2的變化和N1的方向變化如圖8的右圖所示。
顯然，隨著β增大，N1單調減小，而N2的大小先減小后增大，當N2垂直N1時，N2取極小值，且N2min = Gsinα。
法二，函數法。
看圖8的中間圖，對這個三角形用正弦定理，有：
= 
，即：N2 = 
，β在0到180°之間取值，N2的極值討論是很容易的。
答案：當β= 90°時，甲板的彈力最小。
2、把一個重為G的物體用一個水平推力F壓在豎直的足夠高的墻壁上，F隨時間t的變化規律如圖9所示，則在t = 0開始物體所受的摩擦力f的變化圖線是圖10中的哪一個？
解說：靜力學旨在解決靜態問題和準靜態過程的問題，但本題是一個例外。物體在豎直方向的運動先加速后減速，平衡方程不再適用。如何避開牛頓第二定律，是本題授課時的難點。
靜力學的知識，本題在于區分兩種摩擦的不同判據。
水平方向合力為零，得：支持力N持續增大。
物體在運動時，滑動摩擦力f = μN ，必持續增大。但物體在靜止后靜摩擦力f′≡ G ，與N沒有關系。
對運動過程加以分析，物體必有加速和減速兩個過程。據物理常識，加速時，f ＜ G ，而在減速時f ＞ G 。
答案：B 。
3、如圖11所示，一個重量為G的小球套在豎直放置的、半徑為R的光滑大環上，另一輕質彈簧的勁度系數為k ，自由長度為L（L＜2R），一端固定在大圓環的頂點A ，另一端與小球相連。環靜止平衡時位于大環上的B點。試求彈簧與豎直方向的夾角θ。
解說：平行四邊形的三個矢量總是可以平移到一個三角形中去討論，解三角形的典型思路有三種：①分割成直角三角形（或本來就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力學矢量三角形和某空間位置三角形相似。本題旨在貫徹第三種思路。
分析小球受力→矢量平移，如圖12所示，其中F表示彈簧彈力，N表示大環的支持力。
（學生活動）思考：支持力N可不可以沿圖12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以。）
容易判斷，圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB是相似的，所以：
⑴
由胡克定律：F = k（
- R） ⑵
幾何關系：
= 2Rcosθ ⑶
解以上三式即可。
答案：arccos
。
（學生活動）思考：若將彈簧換成勁度系數k′較大的彈簧，其它條件不變，則彈簧彈力怎么變？環的支持力怎么變？
答：變小；不變。
（學生活動）反饋練習：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑輪，一根輕繩跨過滑輪將一小球從圖13所示的A位置開始緩慢拉至B位置。試判斷：在此過程中，繩子的拉力T和球面支持力N怎樣變化？
解：和上題完全相同。
答：T變小，N不變。
4、如圖14所示，一個半徑為R的非均質圓球，其重心不在球心O點，先將它置于水平地面上，平衡時球面上的A點和地面接觸；再將它置于傾角為30°的粗糙斜面上，平衡時球面上的B點與斜面接觸，已知A到B的圓心角也為30°。試求球體的重心C到球心O的距離。
解說：練習三力共點的應用。
根據在平面上的平衡，可知重心C在OA連線上。根據在斜面上的平衡，支持力、重力和靜摩擦力共點，可以畫出重心的具體位置。幾何計算比較簡單。
答案：
R 。
（學生活動）反饋練習：靜摩擦足夠，將長為a 、厚為b的磚塊碼在傾角為θ的斜面上，最多能碼多少塊？
解：三力共點知識應用。
答：
。
4、兩根等長的細線，一端拴在同一懸點O上，另一端各系一個小球，兩球的質量分別為m1和m2 ，已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線張開一定角度，分別為45和30°，如圖15所示。則m1 : m2??為多少？
解說：本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學問題。
對兩球進行受力分析，并進行矢量平移，如圖16所示。
首先注意，圖16中的灰色三角形是等腰三角形，兩底角相等，設為α。
而且，兩球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，設為F 。
對左邊的矢量三角形用正弦定理，有：
= 
①
同理，對右邊的矢量三角形，有：
= 
②
解①②兩式即可。
答案：1 ：
。
（學生活動）思考：解本題是否還有其它的方法？
答：有——將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將O點看成轉軸，兩球的重力對O的力矩必然是平衡的。這種方法更直接、簡便。
應用：若原題中繩長不等，而是l1 ：l2 = 3 ：2 ，其它條件不變，m1與m2的比值又將是多少？
解：此時用共點力平衡更加復雜（多一個正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。
答：2 ：3
。
5、如圖17所示，一個半徑為R的均質金屬球上固定著一根長為L的輕質細桿，細桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為μ），所以要將木板從球下面向右抽出時，至少需要大小為F的水平拉力。試問：現要將木板繼續向左插進一些，至少需要多大的水平推力？
解說：這是一個典型的力矩平衡的例題。
以球和桿為對象，研究其對轉軸O的轉動平衡，設木板拉出時給球體的摩擦力為f ，支持力為N ，重力為G ，力矩平衡方程為：
f R + N（R + L）= G（R + L） ①
球和板已相對滑動，故：f = μN ②
解①②可得：f = 
再看木板的平衡，F = f 。
同理，木板插進去時，球體和木板之間的摩擦f′= 
= F′。
答案：
。
第四講 摩擦角及其它
一、摩擦角
1、全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R表示，亦稱接觸反力。
2、摩擦角：全反力與支持力的最大夾角稱摩擦角，一般用φm表示。
此時，要么物體已經滑動，必有：φm = arctgμ（μ為動摩擦因素），稱動摩擦力角；要么物體達到最大運動趨勢，必有：φms = arctgμs（μs為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。通常處理為φm = φms 。
3、引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時更方便、更簡捷。
二、隔離法與整體法
1、隔離法：當物體對象有兩個或兩個以上時，有必要各個擊破，逐個講每個個體隔離開來分析處理，稱隔離法。
在處理各隔離方程之間的聯系時，應注意相互作用力的大小和方向關系。
2、整體法：當各個體均處于平衡狀態時，我們可以不顧個體的差異而講多個對象看成一個整體進行分析處理，稱整體法。
應用整體法時應注意“系統”、“內力”和“外力”的涵義。
三、應用
1、物體放在水平面上，用與水平方向成30°的力拉物體時，物體勻速前進。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進，求物體與水平面之間的動摩擦因素μ。
解說：這是一個能顯示摩擦角解題優越性的題目。可以通過不同解法的比較讓學生留下深刻印象。
法一，正交分解。（學生分析受力→列方程→得結果。）
法二，用摩擦角解題。
引進全反力R ，對物體兩個平衡狀態進行受力分析，再進行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變），φm指摩擦角。
再將兩圖重疊成圖18的右圖。由于灰色的三角形是一個頂角為30°的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊……故有：φm = 15°。
最后，μ= tgφm 。
答案：0.268 。
（學生活動）思考：如果F的大小是可以選擇的，那么能維持物體勻速前進的最小F值是多少？
解：見圖18，右圖中虛線的長度即Fmin ，所以，Fmin = Gsinφm 。
答：Gsin15°（其中G為物體的重量）。
2、如圖19所示，質量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運動，而斜面體始終靜止。已知斜面的質量M = 10kg ，傾角為30°，重力加速度g = 10m/s2 ，求地面對斜面體的摩擦力大小。
解說：
本題旨在顯示整體法的解題的優越性。
法一，隔離法。簡要介紹……
法二，整體法。注意，滑塊和斜面隨有相對運動，但從平衡的角度看，它們是完全等價的，可以看成一個整體。
做整體的受力分析時，內力不加考慮。受力分析比較簡單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。
答案：26.0N 。
（學生活動）地面給斜面體的支持力是多少？
解：略。
答：135N 。
應用：如圖20所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。另一質量為m的滑塊恰好能沿斜面勻速下滑。若用一推力F作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面體靜止不動，就必須施加一個大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。使滿足題意的這個F的大小和方向。
解說：這是一道難度較大的靜力學題，可以動用一切可能的工具解題。
法一：隔離法。
由第一個物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ
對第二個物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ，滑塊與斜面之間的兩對相互作用力只用兩個字母表示（N表示正壓力和彈力，f表示摩擦力），如圖21所示。
對滑塊，我們可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——
Fx = f + mgsinθ
Fy + mgcosθ= N
且 f = μN = Ntgθ
綜合以上三式得到：
Fx = Fytgθ+ 2mgsinθ ①
對斜面體，只看水平方向平衡就行了——
P = fcosθ+ Nsinθ
即：4mgsinθcosθ=μNcosθ+ Nsinθ
代入μ值，化簡得：Fy = mgcosθ ②
②代入①可得：Fx = 3mgsinθ
最后由F =
解F的大小，由tgα= 
解F的方向（設α為F和斜面的夾角）。
答案：大小為F = mg
，方向和斜面夾角α= arctg(
)指向斜面內部。
法二：引入摩擦角和整體法觀念。
仍然沿用“法一”中關于F的方向設置（見圖21中的α角）。
先看整體的水平方向平衡，有：Fcos(θ- α) = P ⑴
再隔離滑塊，分析受力時引進全反力R和摩擦角φ，由于簡化后只有三個力（R、mg和F），可以將矢量平移后構成一個三角形，如圖22所示。
在圖22右邊的矢量三角形中，有：
= 
= 
⑵
注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶
解⑴⑵⑶式可得F和α的值。
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