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2006年全國普通高等學校招生統一考試

上海  數學試卷（理工農醫類）

考生注意：

1．答卷前，考生務必將姓名、高考準考證號、校驗碼等填寫清楚．

2．本試卷共有22道試題，滿分150分，考試時間120分鐘．請考生用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上．

一．填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得4

分，否則一律得零分．）

1．已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，則實數＝       ；

   解：由，經檢驗，為所求；

2．已知圓－4－4＋＝0的圓心是點P，則點P到直線－－1＝0的距離是       ；

   解：由已知得圓心為：，由點到直線距離公式得：；

3．若函數＝（＞0，且≠1）的反函數的圖像過點（2，－1），則＝         ；

   解：由互為反函數關系知，過點，代入得：；

4．計算：＝                ；

   解：；

5．若復數同時滿足－＝2，＝（為虛數單位），則＝              ；

   解：已知；

6．如果＝，且是第四象限的角，那么＝                  ；

   解：已知；

7．已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的

標準方程是                             ；

解：已知為所求；

8．在極坐標系中，O是極點，設點A（4，），B（5，－），則△OAB的面積是         ；

   解：如圖△OAB中，

 (平方單位)；

9．兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本．將它們任意地排成

一排，左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是              （結果用分數表示）；

   解：分為二步完成： 1) 兩套中任取一套，再作全排列，有種方法；

                      2) 剩下的一套全排列，有種方法；

       所以，所求概率為：；

10．如果一條直線與一個平面垂直，則稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體

中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是     ；

解：正方體中，一個面有四條棱與之垂直，六個面，共構成24個“正交線面對”；而正方

體的六個對角截面中，每個對角面又有兩條面對角線與之垂直，共構成12個“正交線

面對”，所以共有36個“正交線面對”；

11．若曲線＝||＋1與直線＝＋沒有公共點，則、分別應滿足的條件是                  ．

    解：作出函數的圖象，

        如右圖所示：

        所以，；

12．三個同學對問題“關于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實數

的取值范圍”提出各自的解題思路．

甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”．

乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”．

丙說：“把不等式兩邊看成關于的函數，作出函數圖像”．

參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值范圍是         ；

   解：由＋25＋|－5|≥，

       而，等號當且僅當時成立；

       且，等號當且僅當時成立；

  所以，，等號當且僅當時成立；故；

二．選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結

論，其中有且只有一個結論是正確的，必本大題滿分16分）須把正確結論的代號寫在題

后的圓括號內，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括

號內），一律得零分．

13．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是         [答]（      ）

（A）；       （B）；

（C）；  （D）；

解：由向量定義易得， （C）選項錯誤；；

14．若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上”

的                                                        [答]（      ）

（A）充分非必要條件；（B）必要非充分條件；（C）充要條件；（D）非充分非必要條件；

解：  充分性成立：  “這四個點中有三點在同一直線上”有兩種情況：

1）第四點在共線三點所在的直線上，可推出“這四個點在同一平面上”；

2）第四點不在共線三點所在的直線上，可推出“這四點在唯一的一個平面內”；

  必要性不成立：“四個點在同一平面上”可能推出“兩點分別在兩條相交或平行直線上”；

  故選（A）

15．若關于的不等式≤＋4的解集是M，則對任意實常數，總有[答]（      ）

（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M；

解：選（A）

    方法1：代入判斷法，將分別代入不等式中，判斷關于的不等式解集是

否為；

        方法2：求出不等式的解集：

≤＋4；

16．如圖，平面中兩條直線和相交于點O，對于平面上任意一點M，若、分別是M到

已知常數≥0，≥0，給出下列命題：

①  若＝＝0，則“距離坐標”為（0，0）的

點有且僅有1個；

②  若＝0，且＋≠0，則“距離坐標”為

（，）的點有且僅有2個；

③  若≠0，則“距離坐標”為（，）的點有且僅有4個．

上述命題中，正確命題的個數是                            [答]（      ）

（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．

解：選（D）

    ① 正確，此點為點；  ② 正確，注意到為常數，由中必有一個為零，另

一個非零，從而可知有且僅有2個點，這兩點在其中一條直線上，且到另一直線的距

離為（或）；  ③ 正確，四個交點為與直線相距為的兩條平行線和與直線

相距為的兩條平行線的交點；

三．解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．

17．（本題滿分12分）

求函數的值域和最小正周期．

[解]   

 ∴ 函數的值域是,最小正周期是；

18．（本題滿分12分）

如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待

營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙

船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到）？

[解]  連接BC,由余弦定理得

BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700.

     于是,BC=10.

     ∵,    ∴sin∠ACB=,

     ∵∠ACB<90°           ∴∠ACB=41°

∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.

19．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD相交

于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60．

（1）求四棱錐P－ABCD的體積；

（2）若E是PB的中點，求異面直線

DE與PA所成角的大小（結果用

反三角函數值表示）．

[解]（1）在四棱錐P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得

∠PBO是PB與平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.

在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,

于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面積為2.

∴四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.

（2）解法一：以O為坐標原點,射線OB、OC、

OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立

空間直角坐標系.

在Rt△AOB中OA=,于是,點A、B、

D、P的坐標分別是A(0,－,0),

B (1,0,0),  D (－1,0,0),  P (0,0, ).

E是PB的中點,則E(,0,)  于是=(,0, ),=(0, ,).

設的夾角為θ,有cosθ=,θ=arccos,

∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos；

 解法二：取AB的中點F,連接EF、DF.

由E是PB的中點,得EF∥PA，

∴∠FED是異面直線DE與PA所成

角(或它的補角)，

在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，

于是, 在等腰Rt△POA中，

PA=，則EF=.

在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，

  cos∠FED==

∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.

20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點．

（1）求證：“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；

（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

[解]（1）設過點T(3,0)的直線交拋物線y²=2x于點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

         當直線的鈄率不存在時,直線的方程為x=3,此時,直線與拋物線相交于點A(3,)、B(3,－).             ∴=3；

         當直線的鈄率存在時,設直線的方程為，其中，

         由得

         又 ∵ ，

    ∴，

    綜上所述，命題“如果直線過點T(3,0)，那么=3”是真命題；

(2)逆命題是：設直線交拋物線y²=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題.

   例如：取拋物線上的點A(2,2)，B(,1)，此時=3,

直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；

說明：由拋物線y²=2x上的點A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 滿足=3，可得y₁y₂=－6，

或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可證得直線AB過點(3,0)；如果y₁y₂=2，可證得直線

AB過點(－1,0),而不過點(3,0).

21．（本題滿分16分，本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題

滿分6分）

已知有窮數列共有2項（整數≥2），首項＝2．設該數列的前項和為，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常數＞1．

（1）求證：數列是等比數列；

（2）若＝2，數列滿足＝（＝1，2，┅，2），

求數列的通項公式；

（3）若（2）中的數列滿足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|

≤4，求的值．

(1)  [證明]   當n=1時,a₂=2a,則=a；

                  2≤n≤2k－1時, a_n+1=(a－1) S_n+2, a_n=(a－1) S_n－1+2,

                 a_n+1－a_n=(a－1) a_n,  ∴=a, ∴數列{a_n}是等比數列.

    (2) 解：由(1) 得a_n=2a, ∴a₁a₂…a_n=2a=2a=2,

             b_n=(n=1,2,…,2k).

   （3）設b_n≤,解得n≤k+,又n是正整數,于是當n≤k時, b_n<；

      當n≥k+1時, b_n>.

      原式=(－b₁)+(－b₂)+…+(－b_k)+(b_k+1－)+…+(b_2k－)

          =(b_k+1+…+b_2k)－(b₁+…+b_k)

          ==.

         當≤4,得k²－8k+4≤0,    4－2≤k≤4+2,又k≥2,

∴當k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.

22．（本題滿分18分，本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題

滿分9分）

已知函數＝＋有如下性質：如果常數＞0，那么該函數在0，上是減函數，在，＋∞上是增函數．

（1）如果函數＝＋（＞0）的值域為6，＋∞，求的值；

（2）研究函數＝＋（常數＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；

（3）對函數＝＋和＝＋（常數＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的

函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數

＝＋（是正整數）在區間[，2]上的最大值和最小值（可利

用你的研究結論）．

[解]（1）函數y=x+(x>0)的最小值是2，則2=6, ∴b=log₂9.

        (2)  設0<x₁<x₂,y₂－y₁=.

            當<x₁<x₂時, y₂>y₁, 函數y=在[,+∞)上是增函數；

            當0<x₁<x₂<時y₂<y₁, 函數y=在(0,]上是減函數.

         又y=是偶函數，于是，

該函數在(－∞,－]上是減函數, 在[－,0)上是增函數；

     (3) 可以把函數推廣為y=(常數a>0),其中n是正整數.

        當n是奇數時,函數y=在(0,]上是減函數,在[,+∞) 上是增函數,

                                   在(－∞,－]上是增函數, 在[－,0)上是減函數；

        當n是偶數時,函數y=在(0,]上是減函數,在[,+∞) 上是增函數,

                                   在(－∞,－]上是減函數, 在[－,0)上是增函數；

        F(x)=+

           =

        因此F(x) 在 [,1]上是減函數,在[1,2]上是增函數.

        所以，當x=或x=2時，F(x)取得最大值()ⁿ+()ⁿ；

              當x=1時F(x)取得最小值2ⁿ⁺¹；