2008年的汶川大地震震撼了大家的心靈．在地震后大家發(fā)現，學習了防震知識且訓練有素的學校的師生在地震中傷亡很小；相反的，沒有這方面準備的學校損失慘重．為了讓大家了解更多的防震避災的知識，某校舉行了一次“防震知識競賽”，共有800名學生參加了這次競賽．為了了解本次競賽成績的情況，從中抽取了部分學生的成績進行統計．但是操作人員不小心將頻率分布表局部污損，根據這個污損的表格解答下列問題：
（1）若用系統抽樣的方法抽取50個樣本，現將所有學生隨機地編號為000，001，002，…，799，
試寫出第二組第一位學生的編號；
（2）填充頻率分布表的空格（將答案直接填在表格內），并作出頻率分布直方圖；
（3）若成績在85.5～95.5分的學生為二等獎，問參賽學生中獲得二等獎的學生約為多少人？

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2008年的汶川大地震震撼了大家的心靈．在地震后大家發(fā)現，學習了防震知識且訓練有素的學校的師生在地震中傷亡很小；相反的，沒有這方面準備的學校損失慘重．為了讓大家了解更多的防震避災的知識，某校舉行了一次“防震知識競賽”，共有800名學生參加了這次競賽．為了了解本次競賽成績的情況，從中抽取了部分學生的成績進行統計．但是操作人員不小心將頻率分布表局部污損，根據這個污損的表格解答下列問題：
（1）若用系統抽樣的方法抽取50個樣本，現將所有學生隨機地編號為000，001，002，…，799，
試寫出第二組第一位學生的編號；
（2）填充頻率分布表的空格（將答案直接填在表格內），并作出頻率分布直方圖；
（3）若成績在85.5～95.5分的學生為二等獎，問參賽學生中獲得二等獎的學生約為多少人？

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為了讓學生了解環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”，共有900名學生參加了這次競賽．為了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分均為整數，滿分為100分）進行統計．請你根據尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻數分布直方圖，解答下列問題：

分組	頻數	頻率
50.5～60.5	4	0.08
60.5～70.5		0.16
70.5～80.5	10
80.5～90.5	16	0.32
90.5～100.5
合計	50

（Ⅰ）填充頻率分布表的空格（將答案直接填在表格內）；
（Ⅱ）補全頻數直方圖；
（Ⅲ）學校決定成績在75.5～85.5分的學生為二等獎，問該校獲得二等獎的學生約為多少人？

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評分說明：

1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分參考制訂相應的評分細則．

2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

4．只給整數分數―選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題

⑴D   ⑵D   ⑶A   ⑷A   ⑸C   ⑹B   ⑺A   ⑻D   ⑼A   ⑽C   ⑾A   ⑿C

二、填空題

⒀45   ⒁   ⒂   ⒃25

三、解答題

17．解：（Ⅰ）若a⊥b，則sinθ＋cosθ＝0，……………2分

由此得   tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以  θ＝－；………………4分

（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得

｜a＋b｜＝＝

＝，………………10分

當sin(θ＋)＝1時，|a＋b|取得最大值，即當θ＝時，|a＋b|最大值為＋1．……12分

18．解：（Ⅰ）ξ可能的取值為0，1，2，3．

P(ξ＝0)＝?＝＝

P(ξ＝1)＝?＋?＝

P(ξ＝2)＝?＋?＝

P(ξ＝3)＝?＝．         ………………8分

ξ的分布列為

ξ

0

1

2

3

P

數學期望為Eξ＝1.2．

(Ⅱ)所求的概率為

p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝    ……………12分

19．解法一：

（Ⅰ）設O為AC中點，連接EO，BO，則EO∥＝C₁C，又C₁C∥＝B₁B，所以EO∥＝DB，EOBD為平行四邊形，ED∥OB．     ……2分

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁，BD⊥AC₁，ED⊥CC₁，

∴ED⊥BB₁，ED為異面直線AC₁與BB₁的公垂線．……6分

（Ⅱ）連接A₁E，由AA₁＝AC＝AB可知，A₁ACC₁為正方形，

∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面ACC₁A₁和EDÌ平面ADC₁知平面

ADC₁⊥平面A₁ACC₁，∴A₁E⊥平面ADC₁．作EF⊥AD，垂足為F，連接A₁F，則A₁F⊥AD，∠A₁FE為二面角A₁－AD－C₁的平面角．

不妨設AA₁＝2，則AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，

tan∠A₁FE＝，∴∠A₁FE＝60°．

所以二面角A₁－AD－C₁為60°．          ………12分

解法二：

（Ⅰ）如圖，建立直角坐標系O－xyz，其中原點O為AC的中點．

設A(a，0，0)，B(0，b，0)，B₁(0，b，2c)．

則C(－a，0，0)，C₁(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．   ……3分

＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．

?＝0，∴ED⊥BB₁．

又＝(－2a，0，2c)，

?＝0，∴ED⊥AC₁，    ……6分

所以ED是異面直線BB₁與AC₁的公垂線．

（Ⅱ）不妨設A(1，0，0)，則B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A₁(1，0，2)，

＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，

?＝0，?＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA₁，又AB∩AA₁＝A，

∴BC⊥平面A₁AD．

又　　E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，

＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，

?＝0，?＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，

∴　　EC⊥面C₁AD．　　……10分

cos＜，＞＝＝，即得和的夾角為60°．

所以二面角A₁－AD－C₁為60°．          ………12分

20．解法一：

令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，

對函數g(x)求導數：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，                ……5分

(i)當a≤1時，對所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函數，

又g(0)＝0，所以對x≥0，都有g(x)≥g(0)，

即當a≤1時，對于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．    ……9分

(ii)當a＞1時，對于0＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e^a－1－1)是減函數，

又g(0)＝0，所以對0＜x＜e^a－1－1，都有g(x)＜g(0)，

即當a＞1時，不是對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．

綜上，a的取值范圍是（－∞，1]．    ……12分

解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，

于是不等式f(x)≥ax成立即為g(x)≥g(0)成立．　　……3分

對函數g(x)求導數：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，                ……6分

當x＞ e^a－1－1時，g′(x)＞0，g(x)為增函數，

當－1＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，g(x)為減函數，    ……9分

所以要對所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要條件為e^a－1－1≤0．

由此得a≤1，即a的取值范圍是（－∞，1]．    ……12分

21．解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由＝λ，

即得　　(－x₁，1－y)＝λ(x₂，y₂－1)，

將①式兩邊平方并把y₁＝x₁²，y₂＝x₂²代入得　　y₁＝λ²y₂   ③

解②、③式得y₁＝λ，y₂＝，且有x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4，

拋物線方程為y＝x²，求導得y′＝x．

所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是

y＝x₁(x－x₁)＋y₁，y＝x₂(x－x₂)＋y₂，

即y＝x₁x－x₁²，y＝x₂x－x₂²．

解出兩條切線的交點M的坐標為(，)＝(，－1)．   ……4分

所以?＝(，－2)?(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(x₂²－x₁²)－2(x₂²－x₁²)＝0

所以?為定值，其值為0．　　　……7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝

＝

＝＝＋．

因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y＝－1的距離，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y₁＋y₂＋2＝λ＋＋2＝(＋)²．

于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)³，

由＋≥2知S≥4，且當λ＝1時，S取得最小值4．

22．解：(Ⅰ)當n＝1時，x²－a₁x－a₁＝0有一根為S₁－1＝a₁－1，

于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，解得a₁＝．

當n＝2時，x²－a₂x－a₂＝0有一根為S₂－1＝a₂－，

于是(a₂－)²－a₂(a₂－)－a₂＝0，解得a₁＝．

(Ⅱ)由題設(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，

即　　S_n²－2S_n＋1－a_nS_n＝0．

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1，代入上式得

S_n－1S_n－2S_n＋1＝0　　　①

由(Ⅰ)知S₁＝a₁＝，S₂＝a₁＋a₂＝＋＝．

由①可得S₃＝．

由此猜想S_n＝，n＝1，2，3，…．　　　　　　……8分

下面用數學歸納法證明這個結論．

(i)n＝1時已知結論成立．

(ii)假設n＝k時結論成立，即S_k＝，

當n＝k＋1時，由①得S_k＋1＝，即S_k＋1＝，

故n＝k＋1時結論也成立．

綜上，由(i)、(ii)可知S_n＝對所有正整數n都成立．　　……10分

于是當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝－＝，

又n＝1時，a₁＝＝，所以

｛a_n｝的通項公式a_n＝，n＝1，2，3，…．        ……12分

2006高考數學試題全國II卷理科試題

       本試卷分第Ｉ卷（選擇題）和第ＩＩ卷（非選擇題）兩部分。第Ｉ卷１至２頁。第ＩＩ卷３至４頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第Ｉ卷

注意事項：

       １．答題前，考生在答題卡上務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考號填寫清楚，并貼好條形碼。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目。

       ２．每小題選出答案后，用２Ｂ鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效。

       其中Ｒ表示球的半徑

       球的體積公式

       其中Ｒ表示球的半徑

參考公式

       如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么

       如果事件Ａ、Ｂ相互獨立，那么

       如果事件Ａ在一次試驗中發(fā)生的概率是Ｐ，那么

       次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率是

一．選擇題

（1）已知集合，則 (D)

       （A）　　　　　　　　　　　　（B）

       （C）　　　　　　　（D）

解析:,用數軸表示可得答案D

考察知識點有對數函數的單調性,集合的交集    本題比較容易.

（2）函數的最小正周期是(D)

       （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

解析: 所以最小正周期為,故選D

考察知識點有二倍角公式,最小正周期公式   本題比較容易.

（3）(A)

       （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

解析: 故選A

本題考察的知識點復數的運算,(乘法和除法),比較簡單

（4）過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為(A)

       （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

解析:設球的半徑為R, 過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面,由勾股定理可得一個半徑為的圓,所以,故選A

本題主要考察截面的形狀和球的表面積公式,難度中等

（5）已知的頂點B、C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則的周長是  ( C)

       （A）　　　　（B）6　　　　（C）　　　　（D）12

解析(數形結合)由橢圓的定義橢圓上一點到兩焦點的距離之和等于長軸長2a,可得的周長為4a=,所以選C

本題主要考察數形結合的思想和橢圓的基本性質,難度中等

（6）函數的反函數為(B)

       （A）　　　　（B）

       （C）　　　　（D）

解析:所以反函數為故選B

本題主要考察反函數的求法和對數式與指數式的互化,難度中等

（7）如圖，平面平面，與兩平面、所成的角分別為和。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、則(A)

       （A）　　　　（B）

       （C）　　　　（D）

解析:連接,設AB=a,可得AB與平面所成的角為,在,同理可得AB與平面所成的角為,所以,因此在,所以,故選A

本題主要考察直線與平面所成的角以及線面的垂直關系,要用到勾股定理及直角三角形中的邊角關系.有一定的難度

（8）函數的圖像與函數的圖像關于原點對稱，則的表達式為(D)

       （A）　　　　（B）

       （C）　　　　（D）

解析(x,y)關于原點的對稱點為(-x,-y),所以 故選D

本題主要考察對稱的性質和對數的相關性質,比較簡單,但是容易把與搞混,其實

（9）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為(A)

       （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

解析:雙曲線焦點在x軸,由漸近線方程可得,故選A

本題主要考察雙曲線的漸近線方程和離心率公式,涉及a,b,c間的關系,比較簡單

（10）若則 =(C)

       （A）　　　　（B）

       （C）　　　　（D）

解析:

所以,因此故選C

本題主要考察函數解析式的變換和三角函數的二倍角公式,記憶的成分較重,難度一般

（11）設是等差數列的前項和，若則(A)

       （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

解析:由等差數列的求和公式可得且

所以,故選A

本題主要考察等比數列的求和公式,難度一般

（12）函數的最小值為(C)

       （A）190　　　　（B）171　　　　（C）90　　　　（D）45

解析:表示數軸上一點到1,2,3…19的距離之和,可知x在1―19最中間時f(x)取最小值.即x=10時f(x)有最小值90,故選C

本題主要考察求和符號的意義和絕對值的幾何意義,難度稍大,且求和符號不在高中要求范圍內,只在線性回歸中簡單提到過.

理科數學

第ＩＩ卷（非選擇題，共90分）

注意事項：

       本卷共2頁，10小題，用黑碳素筆將答案答在答題卡上。答在試卷上的答案無效。

二．填空題：本大題共４小題，每小題４分，共１６分，把答案填在橫線上。

（13）在的展開式中常數項為     45（用數字作答）

解析:  要求常數項,即40-5r=0,可得r=8代入通項公式可得

本題利用二項式的通項公式(讓次數為0,求出r)就可求出答案,比較簡單

（14）已知的三個內角A、B、C成等差數列，且則邊BC上的中線AD的長為  

解析: 由的三個內角A、B、C成等差數列可得A+C=2B而A+B+C=可得

AD為邊BC上的中線可知BD=2,由余弦定理定理可得

本題主要考察等差中項和余弦定理,涉及三角形的內角和定理,難度中等

（15）過點的直線將圓分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率

解析(數形結合)由圖形可知點A在圓的內部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線,所以

本題主要考察數形結合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關系,難度中等

（16）一個社會調查機構就某地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）。為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業(yè)等方面的關系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調查，則在（元）月收入段應抽出   25  人。

解析:由直方圖可得（元）月收入段共有人

按分層抽樣應抽出人

本題主要考察直方圖和分層抽樣,難度一般

三．解答題：本大題共６小題，共７４分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（17）（本小題滿分１２分）

              已知向量

       （I）若求     （II）求的最大值。

解(1).  

當=1時有最大值,此時

最大值為

本題主要考察以下知識點1.向量垂直轉化為數量積為0  2.特殊角的三角函數值

3.三角函數的基本關系以及三角函數的有界性  4.已知向量的坐標表示求模

難度中等,計算量不大

（18）（本小題滿分１２分）

              某批產品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進該批產品前先取出3箱，再從每箱中任意出取2件產品進行檢驗。設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品。

       （I）用表示抽檢的6件產品中二等品的件數，求的分布列及的數學期望；

       （II）若抽檢的6件產品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產品，求這批產品被用戶拒絕的概率。

解(1.)  

所以的分布列為

0

1

2

3

P

的數學期望E()= 

(2)P()=

本題主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,難度對于民族地區(qū)學生較大

（19）（本小題滿分１２分）

              如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點。

       （I）證明：ED為異面直線與的公垂線；

       （II）設求二面角的大小。

提示:1證明與兩條異面直線都垂直相交   利用等腰三角形

2  連,由可得為等腰直角三角形,因此在平面內的射影為點所以,所以二面角為(或)

本題主要考察以下知識點1.異面直線的公垂線段的定義(與兩條異面直線均垂直切相交)

2.直棱柱的性質(側棱垂至于底面)   3.三角形的邊的關系

4.二面角的求法(可用射影面積或者直接作出二面角)   難度對于民族地區(qū)考生較大

（20）（本小題１２分）

              設函數若對所有的都有成立，求實數的取值范圍。

解析:令  對g(x)求導得

令

當時,對所有的x>0都有,所以上為單調增函數

又g(0)=0,所以對  即當所以成立

當a>1時,對于   所以g(x)在   所以對于

即f(x)<ax,  所以當a>1時不一定成立

綜上所述可知a的取值范圍是

本題主要考察了函數的導數和利用導數判斷函數的單調性,涉及分類討論的數學思想

難度較大

（21）（本小題滿分為１４分）

       已知拋物線的焦點為F，A、B是熱線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M。

       （I）證明為定值；

       （II）設的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值。

提示  F點的坐標為(0,1)設A點的坐標為   B點的坐標為

由可得

因此

過A點的切線方程為    (1)

過B點的切線方程為    (2)

解(1)( 2)構成的方程組可得點M的坐標,從而得到=0  即為定值

2. =0可得三角形面積 

所以

當且僅當時取等號

本題主要考察共線向量的關系,曲線的切線方程,直線的交點以及向量的數量積等知識點

涉及均值不等式,計算較復雜.難度很大

（22）（本小題滿分１２分）

              設數列的前項和為，且方程

              有一根為

       （I）求

       （II）求的通項公式

提示:1 為方程的根,代入方程可得

將n=1和n=2代入上式可得   

2. 求出等,可猜想

并用數學歸納法進行證明

本題主要考察1.一般數列的通項公式  求和公式間的關系

2.方程的根的意義(根代入方程成立)

3.數學歸納法證明數列的通項公式(也可以把分開為,可得

難道較大,不過計算較易,數列的前面一些項的關系也比較容易發(fā)現

試卷總體評價難度不算大,考察知識點不多.注重對一些基本公式以及數形結合等數學思想的考察,選擇題填空題較簡單,但解答題有一定的難度,保證學習一般的學生能拿到100左右的分數,但是得高分也比較困難.有較好的區(qū)分度

函數的周期性以及函數的連續(xù)性和極限等知識點沒在試卷的考察范圍內,新題不多.