題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若對一切x∈R，f(x) 
1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使
恒成立.
【解析】解：
令
.
當(dāng)
時
單調(diào)遞減；當(dāng)
時
單調(diào)遞增，故當(dāng)
時，
取最小值
于是對一切
恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)
. ①
令
則
當(dāng)
時，
單調(diào)遞增；當(dāng)
時，
單調(diào)遞減.
故當(dāng)
時，
取最大值
.因此，當(dāng)且僅當(dāng)
時，①式成立.
綜上所述，
的取值集合為
.
（Ⅱ）由題意知，
令
則
令
，則
.當(dāng)
時，
單調(diào)遞減；當(dāng)
時，
單調(diào)遞增.故當(dāng)
，
即
從而
，
又
所以
因為函數(shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在
使
即成立.
【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為
從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
已知函數(shù)
的圖象過坐標(biāo)原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當(dāng)
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當(dāng)
時，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時，，令得
當(dāng)
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時, 
.當(dāng)
時, 
,最大值為0；
當(dāng)
時, 在
上單調(diào)遞增。∴在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
已知函數(shù)
．（
）
（1）若
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）若在區(qū)間
上，函數(shù)的圖象恒在曲線
下方，求的取值范圍．
【解析】第一問中，首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)法得到
，進(jìn)而得到范圍；第二問中，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于
在區(qū)間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上恒成立． …………3分
即，而當(dāng)
時，
，故
．
…………5分
所以
．
…………6分
（2）令
，定義域為
．
在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立．
∵
…………9分
① 若
，令
，得極值點
，
，
當(dāng)
，即
時，在（
，+∞)上有
，此時
在區(qū)間
上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有
，不合題意；
當(dāng)
，即
時，同理可知，在區(qū)間上遞增，
有
，也不合題意；
…………11分
② 若
，則有
，此時在區(qū)間上恒有
，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足
，
由此求得的范圍是
． …………13分
綜合①②可知，當(dāng)
時，函數(shù)的圖象恒在直線下方．
已知函數(shù)
，
.
（Ⅰ）若函數(shù)
依次在
處取到極值.求
的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實數(shù)
，使對任意的
，不等式
恒成立.求正整數(shù)
的最大值.
【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。
第二問中，利用存在實數(shù)，使對任意的，不等式
恒成立轉(zhuǎn)化為
，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。
解：（1）
①
（2）不等式 ，即
，即
.
轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)
，使對任意的
，不等式恒成立.
即不等式
在上恒成立.
即不等式
在上恒成立.
設(shè)
，則.
設(shè)
，則
，因為，有
.
故
在區(qū)間上是減函數(shù)。又
故存在
，使得
.
當(dāng)
時，有
，當(dāng)
時，有
.
從而
在區(qū)間
上遞增，在區(qū)間
上遞減.
又
[來源:]
所以當(dāng)
時，恒有
；當(dāng)
時，恒有
；
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5
（本小題滿分12分）已知函數(shù)
（I）若函數(shù)
在區(qū)間
上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）當(dāng)
時，不等式
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.
（Ⅲ）求證：解：（1）
，其定義域為
，則
令
，
則
，
當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
在（0，1）上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，
即當(dāng)時，函數(shù)取得極大值. （3分）
函數(shù)在區(qū)間
上存在極值，
，解得
（4分）
（2）不等式，即
令
（6分）
令
，則
，
，即
在
上單調(diào)遞增， （7分）
，從而
，故
在上單調(diào)遞增， （7分）
（8分）
（3）由（2）知，當(dāng)時，
恒成立，即
，
令
，則
， （9分）
（10分）
以上各式相加得，
即
，
即
（12分）
。
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單調(diào)遞減