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（本小題滿分14分）設是函數的一個極值點。

⑴求和的關系式并求的單調區間；

       ⑵設，若存在使得成立，求的取值范圍。

（本小題滿分14分）設是函數圖象上任意兩點，且，已知點的橫坐標為

（1）求點的縱坐標；

（2）若，其中且n≥2，

① 求；

② 已知，其中，為數列的前n項和，若對一切都成立，試求λ的最小正整數值。

（本小題滿分14分）設是函數定義域內的一個區間，若存在，

使，則稱是的一個不動點，也稱在區間上有不動點．

⑴證明在區間上有不動點；

⑵若函數在區間上有不動點，求常數的取值范圍．

（本小題滿分14分）設函數，且，.求證：（Ⅰ）且；（Ⅱ）方程在區間內至少有一個根；（Ⅲ）設，是方程的兩個根，則.

（本小題滿分14分）設函數的圖象與x軸相交于一點，且在點處的切線方程是

   （I）求t的值及函數的解析式；

   （II）設函數

        （1）若的極值存在，求實數m的取值范圍。

        （2）假設有兩個極值點的表達式并判斷是否有最大值，若有最大值求出它；若沒有最大值，說明理由。