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某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組.在參加活動的職工中，青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山組的職工占參加活動總人數的，且該組中，青年中占50%，中年人占40%，老年人占10%.為了了解各組不同年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本.試確定

（1）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；

（2）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應抽取的人數.

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一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算。每小題5分，滿分50分。

1．C  2．D  3．A  4．A  5．B  6．D   7．B   8．C  9．D  10．A

二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算。每小題5分，滿分25分。

11．            12．0.94             13．（0，）            14．78

15．．球的體積函數的導數等于球的表面積函數。

三、解答題

16．本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的基本知識，以及運用三角函數的圖像和性質的能力。

解：（Ⅰ）∵

         ∴的最大值為，最小正周期是。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

即成立的的取值集合是.

17．本小題主要考查分層抽樣的概念和運算，以及運用統計知識解決實際問題的能力。

解：（Ⅰ）設登山組人數為，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c，則有，解得b=50%,c=10%.

故a=100%－50%－10%=40%,即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40％、

50％、10％。

（Ⅱ）游泳組中，抽取的青年人數為（人）；抽取的中年人數為

50％＝75（人）；抽取的老年人數為10％＝15（人）。

18．本小題主要考查線面關系、二面角和點到平面距離的有關知識及空間想象能力和推理運算能力。考查應用向量知識解決數學問題的能力。

解法1：（Ⅰ）因為M是底面BC邊上的中點，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，從而AMM, AMNM，所以MN為二面角，―AM―N的平面角。又M=,MN=,

連N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。

（Ⅱ）過在面內作直線，為垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即為到平面AMN的距離。在中，H＝M。故點到平面AMN的距離為1。

解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則（0，0，1），M（0，，0）,

C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，

，,。

因為

所以,同法可得。

故??為二面角―AM―N的平面角

∴??＝

故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。

（Ⅱ）設n=(x,y,z)為平面AMN的一個法向量，則由得

 故可取

設與n的夾角為a，則。

所以到平面AMN的距離為。

19.本小題主要考查層數的概念和計算，考查應用導數研究函數性質的方法及推理和運算能力。

解：依題意有而

故 解得  從而

。

令，得或。

由于在處取得極值，故，即。

（1）       若，即，則當時，；

當時，；當時，；

從而的單調增區間為；單調減區間為

（2）       若，即，同上可得，

的單調增區間為；單調減區間為

20.本小題主要是考查等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力。

解：（I）依題意得，即。

當n≥2時，a;

當n=1時，×-2×1-1-6×1-5

所以。

（II）由（I）得，

故=。

因此，使得?成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數m為10。

21．本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。

解：（I）依題意得解得  從而b=,

故橢圓方程為。

（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0）。設。

點在橢圓上，。

又點異于頂點

曲三點共線可得.

從面

.

將①式代入②式化簡得

>0,>0.于是為銳角,從而為鈍角,故點在以為直徑的圓內.

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設P（4，）（0），M（，），N（，），則直線AP的方程為，直線BP的方程為。

點M、N分別在直線AP、BP上，

＝（＋2），＝（－2）.從而＝（＋2）（－2）.③

聯立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0.

，－2是方程得兩根，（－2）．，即＝.  ④

又．=（－2, ）．(－2,)＝（－2）（－2）＋.   ⑤

于是由③、④式代入⑤式化簡可得

．＝（－2）.

N點在橢圓上，且異于頂點A、B，<0.

又，> 0, 從而．<0.

故為鈍角，即點B在以MN為直徑的圓內.

解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（，），N（，），則－2<<2 , －2<<2.又MN的中點Q的坐標為（），

化簡得－＝（－2）（－2）＋.                      ⑥

直線AP的方程為，直線BP的方程為.

點P在準線x＝4上，

，即.                                  ⑦

又M點在橢圓上，＋＝1，即                   ⑧

于是將⑦、⑧式化簡可得－＝.

從而B在以MN為直徑的圓內.

2006年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）

數學（文史類）（編輯：寧岡中學張建華）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共4頁。全卷共150分。考試用時120分鐘。

第Ⅰ卷（選擇題  共50分）

一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分散。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、集合P＝｛x|x²－16<0｝,Q＝｛x|x＝2n，nZ｝,則PQ＝（C）

A.｛-2,2｝     B.｛－2，2，－4，4｝    C.｛－2，0，2｝     D.｛－2，2，0，－4，4｝

解：P＝｛x|x²－16<0｝＝｛x|－4<x<4｝，故PQ＝｛－2，0，2｝，故選C

2、已知非零向量a、b，若a＋2b與a－2b互相垂直，則（D）

A.                B.  4              C.               D. 2

解：由a＋2b與a－2b互相垂直Þ（a＋2b）?（a－2b）＝0Þa²－4b²＝0

即|a|²＝4|b|²Þ|a|＝2|b|，故選D

3、已知，A∈（0，），則（A）

A.              B．         C．              D．

解：由sin2A＝2sinAcosA＝>0，又A∈（0，）所以AÎ（0，），所以sinA＋cosA>0

又（sinA＋cosA）²＝1＋2sinAcosA＝故選A

4、在等比數列｛a_n｝中，a₁＝1，a₁₀＝3，則a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉＝（ A  ）

A. 81              B.  27             C.               D. 243

解：因為數列｛a_n｝是等比數列，且a₁＝1，a₁₀＝3，所以a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉＝

（a₂a₉）（a₃a₈）（a₄a₇）（a₅a₆）＝（a₁a₁₀）⁴＝3⁴＝81，故選A

5、甲：A₁、A₂是互斥事件；乙：A₁、A₂是對立事件，那么（B）

A. 甲是乙的充分但不必要條件        B. 甲是乙的必要但不充分條件

C. 甲是乙的充要條件                D. 甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

解：兩個事件是對立事件，則它們一定互斥，反之不成立。故選 B

6、關于直線m、n與平面與，有下列四個命題：（D）

①若且，則；

②若且，則；

③若且，則；

④若且，則；

其中真命題的序號是

A．①②    B．③④    C．①④    D．②③

解：用排除法可得選D

7、設f(x)＝，則的定義域為

A.    B.(－4,－1)(1，4)   C. (－2,－1)(1，2)  D. (－4,－2)(2，4)

解：f（x）的定義域是（－2，2），故應有－2<<2且－2<<2解得－4<x<－1或1<x<4

故選B

8、在的展開式中，x的冪的指數是整數的有（C）

A. 3項              B. 4項               C. 5項             D. 6項

解：，當r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24時，x的指數分別是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均為2的整數次冪，故選C

9、設過點P（x，y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，則點P的軌跡方程是（ D  ）

A.             B.      

C.             D.

解：設P（x，y），則Q（－x，y），又設A（a，0），B（0，b），則a>0，b>0，于是，由可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0又＝（－a，b）＝（－x，3y），由＝1可得

故選D

10、關于x的方程，給出下列四個命題：

①存在實數，使得方程恰有2個不同的實根；

②存在實數，使得方程恰有4個不同的實根；

③存在實數，使得方程恰有5個不同的實根；

④存在實數，使得方程恰有8個不同的實根；

其中假命題的個數是（ A  ）

A．0              B．1                  C．2                 D．3

解：關于x的方程可化為…………（1）

或（－1<x<1）…………（2）

①     當k＝－2時，方程（1）的解為±，方程（2）無解，原方程恰有2個不同的實根

②     當k＝時，方程（1）有兩個不同的實根±，方程（2）有兩個不同的實根±，即原方程恰有4個不同的實根

③     當k＝0時，方程（1）的解為－1，＋1，±，方程（2）的解為x＝0，原方程恰有5個不同的實根

④     當k＝時，方程（1）的解為±，±，方程（2）的解為±，±，即原方程恰有8個不同的實根

選A

第Ⅱ卷（非選擇題   共100分）

注意事項：

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡相應位置上。

11、在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，則sinB＝.

解：由正弦定理易得結論。

12．接種某疫苗后，出現發熱反應的概率為0．80，現有5人接種了該疫苗，至少有3人出現發熱反應的概率為精確到0．01）

解：P＝＝0.94

13、若直線y＝kx＋2與圓(x－2)²＋(y－3)²＝1有兩個不同的交點，則k 的取值范圍是.

解：由直線y＝kx＋2與圓(x－2)²＋(y－3)²＝1有兩個不同的交點可得直線與圓的位置關系是相交，故圓心到直線的距離小于圓的半徑，即<1，解得kÎ(0，)

14、安排5名歌手的演出順序時，要求某名歌手不第一個出場，另一名歌手不最后一個出場，不同排法的總數是.(用數字作答)

解：分兩種情況：（1）不最后一個出場的歌手第一個出場，有種排法

（2）不最后一個出場的歌手不第一個出場，有種排法

故共有78種不同排法

15、半徑為r的圓的面積S(r)＝r²,周長C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r²)`＝2r  1，

1式可以用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數。

對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于1的式子：2

2式可以用語言敘述為：。

解：V_球＝，又 故2式可填，用語言敘述為“球的體積函數的導數等于球的表面積函數。”

三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16、（本小題滿分12分）

設向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函數f(x)＝a?(a＋b).

（Ⅰ）求函數f(x)的最大值與最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。

解：（Ⅰ）∵

         ∴的最大值為，最小正周期是。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

即成立的的取值集合是.

17、（本小題滿分12分）

某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組。在參加活動的職工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山組的職工占參加活動總人數的，且該組中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。為了了解各組不同的年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本。試確定

（Ⅰ）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；

（Ⅱ）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應抽取的人數。

解：（Ⅰ）設登山組人數為，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c，則有，解得b=50%,c=10%.

故a=100%－50%－10%=40%,即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40％、

50％、10％。

（Ⅱ）游泳組中，抽取的青年人數為（人）；抽取的中年人數為

50％＝75（人）；抽取的老年人數為10％＝15（人）。

18、（本小題滿分12分）

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點，N是側棱CC₁上的點，且CN＝2C₁N.

（Ⅰ）求二面角B₁－AM－N的平面角的余弦值；

（Ⅱ）求點B₁到平面AMN的距離。

解法1：（Ⅰ）因為M是底面BC邊上的中點，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，從而AMM, AMNM，所以MN為二面角，―AM―N的平面角。又M=,MN=,

連N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。

（Ⅱ）過在面內作直線，為垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即為到平面AMN的距離。在中，H＝M。故點到平面AMN的距離為1。

解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則（0，0，1），M（0，，0）,

C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，

，,。

因為

所以,同法可得。

故??為二面角―AM―N的平面角

∴??＝

故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。

（Ⅱ）設n=(x,y,z)為平面AMN的一個法向量，則由得

 故可取

設與n的夾角為a，則。

所以到平面AMN的距離為。

19、（本小題滿分12分）

設函數f(x)=x³+ax²+bx+c在x＝1處取得極值－2，試用c表示a和b，并求f(x)的單調區間。

解：依題意有而

故 解得  從而

。

令，得或。

由于在處取得極值，故，即。

（3）       若，即，則當時，；

當時，；當時，；

從而的單調增區間為；單調減區間為

（4）       若，即，同上可得，

的單調增區間為；單調減區間為

20、（本小題13分）

設數列的前n項和為，點均在函數y＝3x－2的圖像上。

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m。

解：（I）依題意得，即。

當n≥2時，a;

當n=1時，×-2×1-1-6×1-5

所以。

（II）由（I）得，

故=。

因此，使得?成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數m為10。

21、（本小題滿分13分）

設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。

（Ⅰ）、求橢圓的方程；

（Ⅱ）、設為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內。