題目列表(包括答案和解析)
用切削機床進行金屬制品加工時，為了適當地調整機床，應該測定刀具的磨損速度，每隔一定時間（例如：1h）測量刀具的厚度，測得結果如下：
時間x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
厚度y |
30.0 |
29.1 |
28.4 |
28.1 |
28.0 |
28.0 |
27.7 |
27.5 |
27.2 |
|
時間x |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
厚度y |
26.8 |
26.5 |
26.3 |
26.1 |
25.7 |
25.3 |
24.8 |
24.0 |
試根據上述資料：
（1） 畫出散點圖；
（2） 變量x和y之間是否具有線性關系？
（3） 如果x和y具有線性關系，求出線性回歸方程。
時間x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
厚度y |
30.0 |
29.1 |
28.4 |
28.1 |
28.0 |
28.0 |
27.7 |
27.5 |
27.2 |
|
時間x |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
厚度y |
26.8 |
26.5 |
26.3 |
26.1 |
25.7 |
25.3 |
24.8 |
24.0 |
試根據上述資料：
（1） 畫出散點圖；
（2） 變量x和y之間是否具有線性關系？
（3） 如果x和y具有線性關系，求出線性回歸方程。
時間xi | 刀具厚度yi | 時間xi | 刀具厚度yi | 時間xi | 刀具厚度yi |
0 | 30.0 | 6 | 27.5 | 12 | 26.1 |
1 | 29.1 | 7 | 27.2 | 13 | 25.7 |
2 | 28.4 | 8 | 27.0 | 14 | 25.3 |
3 | 28.1 | 9 | 26.8 | 15 | 24.8 |
4 | 28.0 | 10 | 26.5 | 16 | 24.0 |
5 | 27.7 | 11 | 26.3 |
|
|
求刀具厚度關于切削時間的線性回歸方程.
時間xi（h） | 刀具厚度yi（cm） |
| 時間xi（h） | 刀具厚度yi（cm） |
0 | 30.0 | 9 | 26.8 | |
1 | 29.1 | 10 | 26.5 | |
2 | 28.4 | 11 | 26.3 | |
3 | 28.1 | 12 | 26.1 | |
4 | 28.0 | 13 | 25.7 | |
5 | 27.7 | 14 | 25.3 | |
6 | 27.5 | 15 | 24.8 | |
7 | 27.2 | 16 | 24.0 | |
8 | 27.0 |
| ||
試求刀具厚度關于切削時間的線性回歸方程.
為了測定某型號采煤機截齒刀片的磨損速度，技術工人經過一定的時間x(如每隔一天)，測量一次刀片的厚度y(mm)，得到一組實測數據如下表：
(1)畫出散點圖，并根據散點圖描述刀片厚度y與天數x之間的關系；
(2)若y和x具有線性相關關系，用最小二乘法求線性回歸方程y＝bx＋a，并預計第10天的刀片厚度；
(3)該煤礦開采場用0.81萬元購買一批采煤機截齒刀片全部用于采煤，使用中維修費用逐天上升．第n天的維修費用為0.02 n萬元，每天其他的費用為0.09萬元．若報廢損失指購買刀片費，維修費及其他費用之和的日平均值，則這批采煤機截齒刀片應在多少天后報廢最合算(即使用多少天的平均費用最少)？
一． 填空題（每題4分，共48分）
1. {0}; 2. 四; 3. 12; 4. 0; 5. 4; 6. 理
、文7; 7. 理
; 12.
(或
).
二．選擇題（每題4分，共16分）
13．D； 14．B； 15．C； 16．理B、文B．
三. 解答題. 17.（本題滿分12分）解：由已知得
(3分)
∴
, ∴
(6分)
∴
又
，即
,∴
(9分)
∴
的面積S=
．
(12分)
18.（本題滿分12分）解：∵
，∴
(5分)
∵
，欲使
是純虛數，
而=
(7分)
∴
， 即
(11分)
∴當
時，是純虛數.
(12分)
19.（本題滿分14分，第1小題滿分9分，第2小題滿分5分）
解：（1）依題意設
，則
，
(2分)
(4分) 而
，
∴
，即
， (6分) ∴
(7分)
從而
.
(9分)
（2）
平面
，
∴直線
到平面的距離即點
到平面的距離
(2分)
也就是
的斜邊
上的高，為
.
(5分)
20.（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）
解：（1）不正確.
(2分)
沒有考慮到
還可以小于
.
(3分)
正確解答如下：
令
，則
，
當
時，
，即
(5分)
當
時，
，即
(7分)
∴或，即
既無最大值，也無最小值.
(8分)
（2）（理）對于函數
，令
①當
時，有最小值，
，
(9分)
當
時，
，即
，當
時，即
∴或，即既無最大值，也無最小值.
(10分)
②當
時，有最小值，
，
此時，
，∴
，即，既無最大值，也無最小值 .(11分)
③當
時，有最小值，
，即
(12分)
∴
，即
，
∴當
時，有最大值
，沒有最小值.
(13分)
∴當
時，既無最大值，也無最小值。
當時，有最大值，此時；沒有最小值.
(14分)
（文）∵
， ∴
（12分）
∴函數
的最大值為
（當
時）而無最小值． （14分）
21.（本滿分16分，第1、2小題滿分各4分，第3小題滿分8分）
解：（1）
（4分）
（2）由
解得
（7分）
所以第
個月更換刀具.
（8分）
（3）第
個月產生的利潤是：
（9分）
個月的總利潤：
（11分）
個月的平均利潤：
（13分）
由 
且
在第7個月更換刀具，可使這7個月的平均利潤
最大（13.21萬元） （14分）此時刀具厚度為
（mm）
（16分）
22.（本題滿分18分，第1、2小題滿分各4分，第3小題滿分10分）
解：（1）
（4分）
（2）各點的橫坐標為：
(8分)
（3）過
作斜率為
的直線
交拋物線于另一點
，
(9分)
則一般性的結論可以是：
點
的相鄰橫坐標之和構成以
為首項和公比的等比數列（或：點
無限趨向于某一定點，且其橫（縱）坐標之差成等比數列；或：
無限趨向于某一定點，且其橫（縱）坐標之差成等比數列，等）(12分)
證明：設過點
作斜率為
的直線交拋物線于點
由
得
或
；
點的橫坐標為
，則
(14分)
于是
兩式相減得：
(16分)
=
故點無限逼近于點
同理無限逼近于點
（18分）
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