題目列表(包括答案和解析)
如圖所示的直角梯形OABC中，
，OC＝2，OA＝AB＝1，SO⊥平面OABC，SO＝1，以O(shè)C、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz
(1)求
的夾角α的余弦
(2)求平面SBC與平面SOA所成二面角的平面角的正弦值
已知直三棱柱
中, 
,
，
是
和
的交點(diǎn), 若
.
（1）求
的長； （2）求點(diǎn)
到平面
的距離；
（3）求二面角
的平面角的正弦值的大小.
【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運(yùn)用。第一問中，利用ACC
A為正方形, 
AC=3
第二問中，利用面BBCC內(nèi)作CD
BC,
則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD=
，第三問中，利用三垂線定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為
解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3
…………… 5分
(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC,
則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD= … 8分
(3) 易得AC面ACB,
過E作EHAB于H, 連HC,
則HCAB
CHE為二面角C－AB－C的平面角. ……… 9分
sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分
解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0,
0, 0), B(4,
0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3,
0), A(0,
0, h), A(0, －3, h), G(2, －
, －
) ……………………… 3分
=(2, －, －), 
=(0,
－3, －h(huán)) ……… 4分
·=0,
h=3
(2)設(shè)平面ABC得法向量
=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)
點(diǎn)A到平面ABC的距離為H=|
|=……… 8分
(3) 設(shè)平面ABC的法向量為
=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C－AB－C的大小
滿足cos=
=
………
11分
二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為
如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的高為2，底面是邊長為1的正方形，以這個(gè)長方體的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)B1的坐標(biāo)是________，B1D中點(diǎn)的坐標(biāo)是________．
如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，E是線段B1C的中點(diǎn)，分別以AB、AD、AA1為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，點(diǎn)E的坐標(biāo)是
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