題目列表(包括答案和解析)
已知函數f(x)＝alnx－x2＋1.
(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為4x－y＋b＝0，求實數a和b的值；
(2)若a<0，且對任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范圍．
【解析】第一問中利用f′(x)＝
－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，
由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.
第二問中，利用當a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數，
不妨設0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，
∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，
即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，結合構造函數和導數的知識來解得。
(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，
由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.
(2)當a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數，
不妨設0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，
∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，
令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是減函數，
∵g′(x)＝－2x＋1＝
(x>0)，
∴－2x2＋x＋a≤0在x>0時恒成立，
∴1＋8a≤0，a≤－
，又a<0，
∴a的取值范圍是
如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，|AB|＝3米，|AD|＝2米，
（I）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應在什么范圍內？
（II）當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最小？并求出最小面積．
（Ⅲ）若AN的長度不少于6米，則當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最小？并求出最小面積．
【解析】本題主要考查函數的應用，導數及均值不等式的應用等，考查學生分析問題和解決問題的能力 第一問要利用相似比得到結論。
（I）由SAMPN > 32 得
> 32 ，
∵x >2，∴
，即（3x－8）（x－8）> 0
∴2<X<8/3，即AN長的取值范圍是(2,8/3)或(8，+
)
第二問， 
當且僅當
(3)令
∴當x
> 4，y′> 0，即函數y＝
在（4，＋∞）上單調遞增，∴函數y＝在[6，＋∞]上也單調遞增．
∴當x＝6時y＝取得最小值，即SAMPN取得最小值27（平方米）．
已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問，利用函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中設切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數求導數，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依題意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)設切點為(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切線過點A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．
∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2
畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范圍是(－6,2)．
一、 選擇題：CACDA,ADCBB.
二、
填空題：11.（-4，2） 12.
13.-4 14. 12
15. 
三、解答題（16～18題，每題13分，19-21題12分，共75分）
16．解：∵
∴
∴
17.證明一：（利用共線向量的判定定理證明）
以
作為基底，有：
, 
，從而
, 所以A、E、F共線。
證明二：（利用三點共線的判定定理證明）
，而：
，所以A、E、F共線。
（可以建立坐標系，利用求出等比分點坐標公式求出E、F的坐標，再證明A、E、F共線）
18．（1）f(x)＝
sin2x－
(1＋cos2x)＋ ＝ sin2x－cos2x
＝sin(2x－
) 5分
∴T＝
＝π 2分
（2）函數y＝f(x)的圖象按
＝（φ，0）（φ>0）平移后，得y＝sin(2(x－φ)－) 2分，此函數圖象對稱軸方程為2(x－φ)－＝kπ＋
k∈Z ，又f(x)平移后關于y軸對稱，∴x＝0滿足上式有2(0－φ)－＝kπ＋，∴φ＝－
π－
k∈Z
2分
∵φ>0∴當k＝－1時，φmin＝ 2分
19．（1）由已知得
－
＝(sinθ，2)－(－2，co sθ)＝(sinθ＋2，2－cosθ) 1分 ∵⊥－
∴?(－)＝0
∴(cosθ，sinθ)(sinθ＋2，2－cosθ)＝0
∴cosθ(sinθ＋2)＋sinθ(2－cosθ)＝0 2分
∴2cosθ＋2sinθ＝0 ∴tanθ＝－1 ∵θ∈（－π，π）
∴θ＝－
或θ＝
3分
（2）由已知
＝＋－＝(cosθ＋sinθ＋2，sinθ＋2－cosθ) 1分
∴||2＝(cosθ＋sinθ＋2)2＋(sinθ＋2－cosθ)2＝10＋8sinθ 2分
∵||≤
∴10＋8sinθ≤14 ∴sinθ≤ ∵θ∈(－π，π)
∴θ∈
3分
20．輪船從點C到點B耗時60分鐘，從點B到點E耗時20分鐘，而船始終勻速，可見BC＝3EB
2分
設EB＝x，則BC＝3x，由條件知∠BAE＝60°，在△ABE中，由正弦定理得
①
在△ABC中，由正弦定理得 
②
2分
由條件∠BAC＝30°＋30°＝60° ∴sin∠BAC＝sin∠BAE
又∠ABC＋∠ABE＝180° ∴sin∠BAC＝sin(180°－∠ABC)＝sin∠ABE 2分
結合①②得
＝
∴AC＝3AE 2分
在△ACE中，由余弦定理，得
CE2＝AC2＋AE2－2AC?AE?cos120°＝9AE2＋AE2＋3AE2＝13AE2＝13×
∴CE＝20 2分 ∴BC＝15 ∴船速v＝15km/t 2分
21.解： 可以組建命題一：△ABC中，若a、b、c成等差數列，求證：（1）0＜B≤
（2）
；
命題二：△ABC中，若a、b、c成等差數列求證：（1）0＜B≤
（2）1＜
≤
命題三：△ABC中，若a、b、c成等差數列，求證：（1）
（2）1＜
≤
命題四：△ABC中，若a、b、c成等比數列，求證：（1）0＜B≤
（2）1＜≤
………………………………………………………………………………………………6分
下面給出命題一、二、三的證明：
（1）∵a、b、c成等差數列∴2b=a+c，∴b=
≥
且B∈（0，π），∴0＜B≤
（2）
（3）
∵0＜B≤ ∴
∴
∴
下面給出命題四的證明：
（4）∵a、b、c成等比數列∴b2=a+c，
且B∈（0，π），∴0＜B≤…14分
評分時若構建命題的結論僅一個但給出了正確證明，可判7分；若構建命題完全正確但論證僅正確給出一個，可判10分；若組建命題出現了錯誤，應判0分，即堅持錯不得分原則
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