題目列表(包括答案和解析)
象棋賽采用單循環賽（每兩名選手均比賽一盤）方式進行，并規定：每盤勝者得2分，負者得0分，平局各得1分.今有5位選手參加這項比賽，已知他們的得分互不相等，且按得分從高到低排名后，第二名選手的得分恰好是最后三名的得分之和.以下給出五個判斷：
①第二名選手得分必不多于
分；
②第二名選手得分必不少于分；
③第二名選手得分一定是分；
④第二名選手得分可能是7分；
⑤第二名選手得分可能是5分.
其中正確的判斷的序號是 （填寫所有正確判斷的序號）.
已知數列
的前
項和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用
關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結論。
解：(Ⅰ)當
時，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對偶式）設
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因為
，所以
.即
………10分
證法四：（數學歸納法）①當
時, 
,命題成立;
②假設
時,命題成立,即
,
則當
時,
即
即
故當時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
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