題目列表(包括答案和解析)
對于函數
，如果存在實數
使得
，那么稱
為
的生成函數．
（1）下面給出兩組函數，是否分別為的生成函數？并說明理由；
第一組：
；
第二組：
；
（2）設
，生成函數．若不等式
在
上有解，求實數
的取值范圍；
（3）設
，取
，生成函數圖像的最低點坐標為
．若對于任意正實數
且
．試問是否存在最大的常數
，使
恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由．
設函數f(x)的定義域為D，若存在x0∈D，使f(x0)＝x0成立，則稱以(x0，x0)為坐標的點為函數f(x)圖像上的不動點．
(Ⅰ)若函數f(x)＝
圖像上有兩點關于原點對稱的不動點，求a、b應滿足的條件；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，若a＝8，記函數f(x)圖像上的兩個不動點分別為A、B，M為函數圖像上的另一點，且其縱坐標yM＞3，求點M到直線AB距離的最小值及取得最小值時M點的坐標；
(Ⅲ)下述命題“若定義在R上的奇函數f(x)圖像上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉一反例說明．
已知函數
的周期為
，圖像的一個對稱中心為
，將函數
圖像上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），在將所得圖像向右平移
個單位長度后得到函數
的圖像．
（1）求函數與的解析式；
（2）是否存在
，使得
按照某種順序成等差數列？若存在，請確定
的個數； 若不存在，說明理由．
（3）求實數
與正整數
，使得
在
內恰有2013個零點．
的坐標；
關于直線OB對稱的圓的方程；
的圖像上總有關于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍.（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
在平行四邊形
中，已知過點
的直線與線段
分別相交于點
。若
。
（1）求證：
與
的關系為
；
（2）設
，定義函數
，點列
在函數
的圖像上，且數列
是以首項為1，公比為
的等比數列，
為原點，令
，是否存在點
，使得
？若存在，請求出
點坐標；若不存在，請說明理由。
（3）設函數
為
上偶函數，當
時
，又函數圖象關于直線
對稱， 當方程
在
上有兩個不同的實數解時，求實數
的取值范圍。
一、填空題（本大題滿分48分，每小題4分，共12小題）
1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；
6．
； 7．； 8．
； 9．
； 10．
；
11．
； 12．
.
二、選擇題（本大題滿分16分，每小題4分，共4小題）
13．C； 14．A； 15．B； 16．C；
三、解答題（本大題滿分86分，本大題共有6題）
17．（1）
；
（2）
； 
18．1號至4號正四棱柱形容器是體積依次為
。
∵ 
，
，
∴ 存在必勝方案，即選擇3號和4號容器。
19．（1）∵ 由正弦定理，
，∴ 
，
。
∵ 
， ∴ 
，即
。∴ 
。
（2）∵ 
，
∴ 
。
20．（1）設放水
分鐘內水箱中的水量為
升
依題意得
；
分鐘時，水箱的水量
升, 放水后
分鐘水箱內水量接近最少；
（2）該淋浴器一次有
個人連續洗浴， 于是，
，
所以，一次可最多連續供7人洗浴。
21．（1）由
及
，∴
時
成等比數列。
（2）因
，由（1）知，
，故
。
（3）設存在
，使得
成等差數列，則
，
即
因，所以
，
∴不存在
中的連續三項使得它們可以構成等差數列。
22．(1)解：設
為函數
圖像的一個對稱點，則
對于
恒成立.即
對于恒成立，
由
，故
圖像的一個對稱點為
.
（2）解：假設
是函數
(
的圖像的一個對稱點，
則
(對于恒成立，
即
對于恒成立，因為
，所以不
恒成立，
即函數(的圖像無對稱點.
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