題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù) 
R)．
（Ⅰ）若 
，求曲線
在點 
處的的切線方程；
（Ⅱ）若 
對任意 
恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
第一問中，利用當(dāng)
時，
．
因為切點為（
），
則
，
所以在點（）處的曲線的切線方程為：
第二問中，由題意得，
即
即可。
Ⅰ）當(dāng)時，．
，
因為切點為（），
則，
所以在點（）處的曲線的切線方程為：． ……5分
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． ……9分
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）
，
因為，所以
恒成立，
故
在
上單調(diào)遞增，
……12分
要使
恒成立，則
，解得．……15分
解法二：
……7分
（1）當(dāng)
時，在
上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
即．
……10分
（2）當(dāng)
時，令
，對稱軸
，
則
在上單調(diào)遞增，又
① 當(dāng)
，即
時，
在上恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
即，不合題意，舍去
②當(dāng)
時，
，
不合題意，舍去 14分
綜上所述：
已知遞增等差數(shù)列
滿足：
，且
成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式
；
（2）若不等式
對任意
恒成立，試猜想出實數(shù)
的最小值，并證明．
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為
，
由題意可知
，即
，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于
，利用當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
；而
，所以猜想，的最小值為
然后加以證明即可。
解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等價于，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
而，所以猜想，的最小值為． …………8分
下證不等式
對任意恒成立．
方法一：數(shù)學(xué)歸納法．
當(dāng)時，
，成立．
假設(shè)當(dāng)
時，不等式
成立，
當(dāng)
時，
，
…………10分
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分
方法二：單調(diào)性證明．
要證
只要證 
，
設(shè)數(shù)列
的通項公式
， …………10分
， …………12分
所以對
，都有
，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值為．
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