題目列表(包括答案和解析)
說明：
1．本解答給出的解法供參考．如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．
2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，填空題不給中間分數．
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）
1．{0，1} 2．1 3．2 4．－3 5．5 6．[2，5]
7．60 8．4 9． 10．（，） 11． 12．4
13． 14．(，]
二、解答題（本大題共6小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分14分）
解：（1）tana＝＝，…………………………………………3分
所以＝，又因為sin2a＋cos2a＝1，
解得sina＝．………………………………………………………7分
（2）因為0＜a＜＜b＜p，所以0＜b－a＜p．
因為cos(b－a)＝，所以sin(b－a)＝．……………………9分
所以sinb＝sin[(b－a)＋a]
＝sin(b－a)cosa＋cos(b－a)sina＝×＋×＝，……12分
因為b∈(，p)，
所以b＝．………………………………………………………14分
16．（本題滿分14分）
證明：（1）取AB1中點F，連結DF，CF．因為D為A1B1中點，
所以DF∥=AA1．
因為E為CC1中點，AA1∥=CC1，
所以CE∥=DF．
所以四邊形CFDE為平行四邊形．
所以DE∥CF．…………………………………………………4分
因為CFÌ平面ABC，DE(/平面ABC，
所以DE∥平面ABC．…………………………………………7分
（2） 因為AA
因為BB
因為AC∶AB∶CC1＝3∶5∶4，
所以AC∶AB∶BC＝3∶5∶4，
所以AC2＋BC2＝AB2．……………………………………10分
所以AC^BC．
所以AC^平面BB
所以AC^BC1．
所以BC1^平面AB
 |
17．（本題滿分14分）
解：（1）設從A地運出的油量為a，根據題設，直接運油到B地，往返油耗等于a，
所以B地收到的油量為(1－)a．
所以運油率P1＝＝．……………………………………3分
而從A地運出的油量為a時，C地收到的油量為(1－)a，
B地收到的油量(1－)(1－)a，
所以運油率P2＝
＝(1－)(1－)＝(＋)(1－)．…………………………7分
所以P2－P1＝x(1－x)，因為0＜x＜1，
所以P2－P1＞0，即P2＞P1．…………………………………………9分
（2）因為P2＝(＋)(1－)≤＝．
當且僅當＋＝1－，即x＝時，取“＝”．
所以當C地為AB中點時，運油率P2有最大值．……………………………………14分
18．（本題滿分16分）
解：（1）因為拋物線頂點在原點，準線方程為x＝－1，
所以拋物線開口向右，且－＝－1，所以p＝2．
所以所求的拋物線方程為y2＝4x．…………………………………………4分
（2）設P(x0，y0)，則y02＝4x0，半徑r＝PF＝x0＋1，
圓P的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2，……………………………6分
設AB的方程為y＝2x＋b，由AB＝2CD得，
圓心P到直線AB的距離2d＝，……………………………6分
所以5d2＝r2，即d＝r．
因為r＝|x0＋1|，d＝，
代入得ㄏ2x0－y0＋bㄏ＝ㄏx0＋1ㄏ．…………………………………8分
即2x0－y0＋b＝x0＋1或2x0－y0＋b＝－x0－1．
所以x0－y0＋b－1＝0或3x0－y0＋b＋1＝0．
因為y02＝4x0，所以x0＝y02，
代入得y02－y0＋(b－1)＝0或y02－y0＋(b＋1)＝0．……………………10分
方程y02－y0＋(b－1)＝0關于y0有解Û1－(b－1)≥0，b≤2．
方程y02－y0＋(b＋1)＝0．關于y0有解Û1－3(b＋1)≥0，b≤－．…12分
綜上所述，b的最大值為2．……………………………………………14分
此時，y0＝2，x0＝1，r＝x0＋1＝2，
所以圓P的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝4．……………………………16分
19．（本題滿分16分）
解： f ¢(x)＝(x＞0) 2分
（1）由已知，得f ¢(x)在[1，＋∞)上有解，即a＝在(1，＋∞)上有解，
又
當x∈(1，＋∞)時，＜1，
所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范圍是(0，1)．………………………………6分
（2）①當a≥時，
因為f ¢(x)＞0在(e，e2)上恒成立，這時f(x)在[e，e2]上為增函數，
所以當x＝e時，f(x)min＝f(e)＝1＋ ……………………………………………… 8分
②當0＜a≤時，
因為f ¢(x)＜0在(e，e2)上恒成立，
這時f(x)在[e，e2]上為減函數，
所以，當x＝e2時，f(x)min＝f(e2)＝2－，…………………………………………10分
③當＜a＜時，令f¢(x)＝0得，x＝∈(e，e2)，
又因為對于x∈(e，)有f ¢(x)＜0，
對于x∈(，e2)有f ¢(x)＞0，
所以當x＝時，f(x)min＝f()＝ln＋1－．………………………………………14分
綜上，f(x)在[e，e2]上的最小值為
f(x)min＝………………………………………16分
20．（本題滿分16分）
解：（1）由條件得an＋2＝(2＋)an＋1－an，
所以an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
即bn＋1＝2bn，又b1＝a2－a1＝2，所以bn≠0，
從而＝2對n∈N*成立，
所以數列{bn}是首項為b1＝2，公比q＝2的等比數列，
所以bn＝2n．…………………………………………………6分
（2）由（1）得an＋1―an＝2n．所以(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)×2n，………………8分
所以
…………，
nan－(n－1)an－1＝n×2n－1，
相加得nan－a1＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1，
所以2(nan－a1)＝ 2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n．
兩式相減得：－（nan－a1)＝2(21＋22＋…＋2n－1)－n×2n＝2n＋1－4－n×2n，所以
an＝2n－＝．…………………………………………………………11分
（3）因為cn＝＝＝4[－]，…………13分
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn
＝4[－＋－＋－＋…＋－]
＝4[－]＝2－＜2．…………………………………………………16分
南京市第十三中學2009屆高三年級第三次模擬考試
數學附加卷答案 2009.5
1．（幾何證明選講）（本題滿分10分）
證明：證明：因為A，B，C，D四點共圓，所以ÐADF＝ÐABC．
因為PF∥BC，所以ÐAFP＝ÐABC．所以ÐAFP＝ÐFQP．
因為ÐAPF＝ÐFPA，所以△APF∽△FPQ．所以＝．………………5分
所以PF2＝PA×PD．因為PQ與圓相切，所以PQ2＝PA×PD．
所以PF2＝PQ2．所以PF＝PQ．……………………………………………10分
2．（矩陣與變換）（本題滿分10分）
解：∵MN＝ ＝，
設直線y＝2x＋1上一點(x0，y0)在MN作用下變為(x¢，y¢)，則
＝， 即＝，即
從而可得……………………………………5分
∵y0＝2x0＋1，代入得y¢＝2(x¢－y¢)＋1，
化簡得2x¢－y¢＋1＝0，即6x¢－5y¢＋3＝0．
即變換后的直線方程是6x－5y＋3＝0．…………………………10分
3．（坐標系與參數方程）（本題滿分10分）
解：⊙O的直角坐標方程是x2＋y2－x－y＝0，
即(x－)2＋(y－)2＝．………………………………………………3分
直線l的極坐標方程為r(cosq－sinq)＝4，
直線l的直角坐標方程為x－y－4＝0．………………………………6分
設M(＋cosq，＋sinq)為⊙C上任意一點，M點到直線l的距離
d＝＝，
當q＝時，dmin＝．…………………………………………………10分
4．（不等式選講）（本題滿分10分）
解：因為＋＋≥3＝3，………………………………………4分
所以ㄏx＋1ㄏ＋ㄏx－1ㄏ≤3，
x∈[－，]．…………………………………………………………10分
5．（本題滿分10分）
解：解：（1）選取的5只恰好組成完整“奧運會吉祥物”的概率
………………………………………………3分
（2）ξ的取值為100，80，60，40.…………………………………4分
……………………………………………………8分
ξ的分布列為
ξ
100
80
60
40
……………………………………………………………………………………9分
Eξ=
…………………………………………10分
6．（本題滿分10分）
解：（1）∵
，∴
.
∴
（
）.
∴
（）.
∴
（）.
∴
（）.
∴
數列
為等比數列，其公比為
，首項
，
而
，且
，∴
.
∴
.
∴
.…………………………………………………………4分．
（2）∵
，
∴ 
.
∴
.
∴
， ①
∴2
. ②
①-②得 -
，
，
∴
.…………………………………………………6分．
∴
（
）=
=
.
當
時，
=；
當
時，-（）=4（4-5）=-4
，
；
當
時，
，
且
，
∴時，總有
.…………………………………………………10分．
∴時，總有
．
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