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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，

D、E分別為棱AB、BC的中點(diǎn)， M為棱AA₁上的點(diǎn)，二面角M―DE―A為30°.

（1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）求點(diǎn)C到平面MDE的距離。

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(本小題滿分12分)某校高2010級數(shù)學(xué)培優(yōu)學(xué)習(xí)小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。

（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?

（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?

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(本小題滿分12分)

某廠有一面舊墻長14米,現(xiàn)在準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費(fèi)用為a元；②修1米舊墻的費(fèi)用為元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費(fèi)用為元,經(jīng)過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時(shí),建墻費(fèi)用最省?(1)、(2)兩種方案哪個(gè)更好?

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(本小題滿分12分)

已知a,b是正常數(shù), a≠b, x，y(0,＋∞).

(1)求證:≥,并指出等號成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)的最小值,并指出取最小值時(shí)相應(yīng)的x 的值.

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(本小題滿分12分)

已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋b，y=－ka＋b (kR).

(1)若t=1,且x∥y,求k的值；

(2)若tR^＋，x?y＝5,求證k≥1.

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一、AADCB DCACB DA

二、(13)160；(14)6π；(15)8；(16)①②③

三、(17)解：(Ⅰ)f(x)=(sinx+cosx)²=[sin(x+]²=[g(x)]²

由f(x)=g(x),得g(x)=0,或g(x)=1

∴sin(x+)=0,或sin(x+)=1……………………………………………3分

∵-

∴x+=0,或x+=,或x+=

x=-或x=0或x=

所求x值的集合為{-,0,} …………………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得

2kπ+≤x≤2kπ+…………………………………………………………9分

∵-≤x≤且x≠-,

∴≤x≤

∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[，]………………………………………12分

18.解：依題意，ξ的可能值為-6000，3000，12000，5000，14000，16000，…2分

P(ξ=-6000)=0.05²=0025，

P(ξ=3000)=2×0.2×0.05=0.02，

P(ξ=12000)=0.2²=0.4，

P(ξ=5000)=2×0.75×0.05×=0.075，

P(ξ=14000)= 2×0.75×0.2×=0.3，

P(ξ=16000)=0.075²=0.5625…………………………………………………………8分

ξ的分布列為

-6000

3000

12000

5000

14000

16000

0.0025

0.02

0.04

0.075

0.3

0.5625

……………………………………………………………………………………………10分

ξ的期望為

Eξ=-6000×0.0025+3000×0.02+12000×0.04+5000×0.075+14000×0.3+16000×0.5625=14100(元) ………………………………………………………12分

19.解法一：(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD，∴OD為PD在平面ABCD內(nèi)的射影

又ABCD為菱形，∴AC⊥OD，∴AC⊥PD，即PD⊥AC

在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°，

分∴OD=AO?cot60°=1

在Rt△POD中，PD=，由PE：ED=3：1，得

DE=又∠PDO=60°，

∴OE²=OD²+DE²-2OD?DEcos60°=

∴OE²+DE²=OD²，∴∠OED=90°,即PD⊥OE

PD⊥平面EAC…………………………………………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角tan∠AEO=，易知OE為AC的垂直平分線，所以∠AEC=2∠AEO，

∴cos∠AEC=cos²∠AEO-sin²∠AEO

=………………………………………8分

(Ⅲ)由O為BD中點(diǎn)，知點(diǎn)B到平面PDC的距離等于點(diǎn)O到平面PDC距離的2倍，由(Ⅰ)知，平面OEC⊥平面PDC，作OH⊥CE，垂足為H，則OH⊥平面PDC，在Rt△OEC中，∠EOC=90°，OC=

∴OH=

所以點(diǎn)B到平面PDC的距離為……………………………………………12分

解法二：建立如圖所示的坐標(biāo)系O-xyz，其中A(0，-，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，).

(Ⅰ)由PE：ED=3：1，知E(-)

∵

∴

∴PD⊥OE，PD⊥AC，∴PD⊥平面EAC……………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA，PD⊥EC，則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角

∵

∴cos∠AEC=cos<……………………………………………8分

(Ⅲ)由OBD中點(diǎn)知，點(diǎn)B到平面PDC的距離為點(diǎn)O到平面PDC距離的2倍，又，cos∠OED=cos<

所以點(diǎn)B到平面PDC的距離為

d=2………………………………………………12分

20.解：(Ⅰ)x-f₁(x)=0,即x-，解得x₁=0,x₂=1,x₃=-1.

所以，函數(shù)f₁(x)的不動點(diǎn)為0，1，-1. ………………………………………………4分

(Ⅱ)令g(x)=x-f₂(x)=x-log_ax(x>0)，則g′(x)=1-…………6分

(1)若0<a<1,則log_ae<0,g′(x)>0,則g(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

又g(a)=a-1<0,g(1)=1>0,所以g(x)=0即x-f₂(x)=0在(0，1)內(nèi)有一根. ………………8分

(2)若a>1,則當(dāng)x∈(0，log_ae)時(shí)，g′<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(log_ae,+∞)時(shí)，g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x=log_ae時(shí)，g(x)有最小值log_ae-log_a(log_ae).