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（本小題滿分12分）

已知，其中是自然對數的底數，

（1）討論時，的單調性。

（2）求證：在（1）條件下，

（3）是否存在實數，使得最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由。

（本小題滿分12分）

已知函數

   （I）若在區間上是增函數，求實數a的取值范圍；

   （II）若的一個極值點，求上的最大值；

   （III）在（II）的條件下，是否存在實數b，使得函數的圖象恰有3個交點，若存在，請求出實數b的取值范圍；若不存在，試說明理由。

（本小題滿分12分）

已知三棱柱中,三個側面均為矩形,底面為等腰直角三角形, ,點為棱的中點,點在棱上運動.

（1）求證；

（II）當點運動到某一位置時，恰好使二面角的平面角的余弦值為，求點到平面的距離；

（III）在（II）的條件下，試確定線段上是否存在一點，使得平面？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由.

（本小題滿分12分）
已知，其中是自然對數的底數，
（1）討論時，的單調性。
（2）求證：在（1）條件下，
（3）是否存在實數，使得最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由。

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，

且四邊形是邊長為2的正方形。

（1）求橢圓方程；

（2）若分別是橢圓長軸的左右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點；

證明：為定值；

（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒

過直線的交點，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。