已知函數的定義域為R，對任意的都滿足，當時，.  

（1）判斷并證明的單調性和奇偶性；  

 （2）是否存在這樣的實數m，當時，使不等式

對所有恒成立，如存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.

已知函數的定義域為R，且不為常函數，有以下命題：

1）函數一定是偶函數；

2）若對任意都有，則是以2為周期的周期函數；

3）若是奇函數，且對任意都有，則的圖像關于直線對稱；

4）對任意，且，若恒成立，則為上的增函數。

    其中正確命題的序號是_________.

已知函數的定義域為R，對任意的x₁，x₂都滿足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），當x＞0時，f（x）＞0．
（I）試判斷并證明f（x）的奇偶性；
（II）試判斷并證明f（x）的單調性；
（III）若均成立，求實數m 的取值范圍．

已知函數的定義域為R，對任意的、都滿足，當

   （I）試判斷并證明的奇偶性；

   （II）試判斷并證明的單調性；

   （III）若均成立，求實數m 的取值范圍.