題目列表(包括答案和解析)
已知數列
是首項為
的等比數列，且滿足
.
（1） 求常數
的值和數列的通項公式；
（2） 若抽去數列中的第一項、第四項、第七項、……、第
項、……，余下的項按原來的順序組成一個新的數列
，試寫出數列的通項公式；
（3） 在（2）的條件下，設數列的前
項和為
.是否存在正整數，使得
？若存在，試求所有滿足條件的正整數的值；若不存在，請說明理由.
【解析】第一問中解：由
得
，，
又因為存在常數p使得數列
為等比數列，
則
即
，所以p=1
故數列為首項是2，公比為2的等比數列，即
.
此時
也滿足，則所求常數的值為1且
第二問中，解：由等比數列的性質得：
（i）當
時，
；
（ii） 當
時，
，
所以
第三問假設存在正整數n滿足條件，則
，
則（i）當時，
，
求曲線
及直線
，
所圍成的平面圖形的面積.
【解析】本試題主要是考查了定積分的運用。
解：做出曲線xy=1及直線y=x，y=3的草圖，則所求面積為陰影部分的面積
解方程組 
得直線y=x與曲線xy=1的交點坐標為（1，1）
同理得：直線y=x與曲線y=3的交點坐標為（3，3）
直線y=3與曲線xy=1的交點坐標為（
，3）………………3分
因此，所求圖形的面積為
求由拋物線
與直線
及
所圍成圖形的面積.
【解析】首先利用已知函數和拋物線作圖，然后確定交點坐標，然后利用定積分表示出面積為
，所以得到
,由此得到結論為
解：設所求圖形面積為
，則
=．即所求圖形面積為．
已知△OFQ的面積為2| 6 |
| OF |
| FQ |
| 6 |
| 6 |
| OF |
| FQ |
| OF |
| ||
| 4 |
| OQ |
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