題目列表(包括答案和解析)
（本題滿分14分）
已知復數
（
、
，
是虛數單位）是方程
的根，且復數
（
）滿足
，求
的取值范圍.
（本題滿分14分）
已知復數
當實數
取什么值時，復數
是：
（1）零；（２）純虛數； （３）
當實數
取什么值時，復數
是：
（本題滿分14分）已知
，
命題
實系數一元二次方程
的兩根都是虛數；
命題
存在復數
同時滿足
且
.
試判斷：命題
和命題
之間是否存在推出關系？請說明你的理由.
（本題滿分14分）已知
，且以下命題都為真命題：
命題
實系數一元二次方程
的兩根都是虛數；
命題
存在復數
同時滿足
且
.
求實數
的取值范圍.
一、填空題（每題5分，理科總分55分、文科總分60分）：
1. 
； 2. 理：2；文：
；
3. 理：1.885；文：2；
4. 理：
；文：1.885； 5. 理：
；文：4；
6. 理：
；文：；
7. 理：
；文：； 8. 理：
；文：6； 9. 理：
；文：
；
10. 理：1； 文：； 11. 理：
；文：； 12. 文：；
二、選擇題（每題4分，總分16分）：
題號
理12；文13
理13；文14
理：14；文：15
理15；文：16
答案
A
C
B
C
三、解答題：
16.（理，滿分12分）
解：因為拋物線的焦點
的坐標為
，設
、
，
由條件，則直線
的方程為
，
代入拋物線方程
，可得
，則
.
于是，
.
…2
…4
…8
…12
17.（文，滿分12分）
解：因為
，所以由條件可得
，
.
即數列
是公比
的等比數列.
又
，
所以，
.
…4
…6
…8
…12
（理）17.（文）18. （滿分14分）
解：因為
所以，
即
或
，
或
，
又由
，即
當
時，
或
；當
時，
或
.
所以，集合
.
…3
…7
…11
…14
18.(理，滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）
解：（1）當
時，
故
，
，所以
.
（2）證：由數學歸納法
（i）當
時，易知
，為奇數；
（ii）假設當
時，
，其中
為奇數；
則當
時，
所以
，又
、
，所以
是偶數，
而由歸納假設知是奇數，故
也是奇數.
綜上（i）、（ii）可知，
的值一定是奇數.
證法二：因為
當
為奇數時，
則當時，是奇數；當
時，
因為其中
中必能被2整除，所以為偶數，
于是，必為奇數；
當為偶數時，
其中
均能被2整除，于是必為奇數.
綜上可知，
各項均為奇數.
…3
…6
…8
…10
…14
…15
…10
…14
…15
19. （文，滿分14分）
解：如圖，設
中點為
，聯結
、
.
由題意，
,
,所以
為等邊三角形，
故
，且
.
又
，
所以
.
而圓錐體的底面圓面積為
,
所以圓錐體體積
.
…3
…8
…10
…14
（理）19. （文）20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）
解：（1）由題意，當
和
之間的距離為應位于
上方，
且此時
中邊上的高為
又因為
米，可得
米.
所以，
平方米，
即三角通風窗
的通風面積為
平方米.
（2）1
如圖（1）所示，當在矩形區域滑動，即
時，
的面積
；
2如圖（2）所示，當在半圓形區域滑動，即
時，
，故可得的面積
；
綜合可得：
（3）1當在矩形區域滑動時，
在區間
上單調遞減，
則有
；
2當在半圓形區域滑動時，
，
等號成立
，
.
因而當
（米）時，每個三角通風窗得到最大通風面積，最大面積為
（平方米）.
…2
…4
…6
…9
…10
…12
…15
…16
21（文，滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）
解：（1）設右焦點坐標為
（
）.
因為雙曲線C為等軸雙曲線，所以其漸近線必為
，
由對稱性可知，右焦點到兩條漸近線距離相等，且
.
于是可知，
為等腰直角三角形，則由
，
又由等軸雙曲線中，
.
即，等軸雙曲線
的方程為
.
（2）設、為雙曲線直線的兩個交點.
因為
，直線的方向向量為
，直線的方程為
.
代入雙曲線的方程，可得
，
于是有
而
.
（3）假設存在定點
，使
為常數，其中
，
為直線與雙曲線的兩個交點的坐標.
①當直線與
軸不垂直時，設直線的方程為
代入，可得
.
由題意可知，
，則有
，
．
于是，
要使是與
無關的常數，當且僅當
，此時
.
②當直線與軸垂直時，可得點
,
，
若，亦為常數.
綜上可知，在軸上存在定點
，使為常數.
…3
…5
…7
…9
…11
…13
…16
…17
…18
20（理，滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）
解：（1）解法一：由題意，四邊形
是直角梯形，且∥，
則
與所成的角即為
.
因為
，又
平面，
所以
平面
，則有
.
因為
，,
所以
，則
，
即異面直線與所成角的大小為
.
解法二：如圖，以
為原點，直線為軸、直線為
軸、直線
為
軸，
建立空間直角坐標系.
于是有
、
，則有
，又
則異面直線與所成角
滿足
,
所以，異面直線與所成角的大小為.
（2）解法一：由條件，過
作
，垂足為，聯結
.
于是有
，故
與所成角即為
.
在平面中，以為原點，直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標系. 設動點
，
則有
又
平面
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