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（2012•廣州二模）已知函數f（x）的定義域為（-1，1），且f(

1

2

)=1，對任意x，y∈（-1，1），都有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，數列{a_n}滿足a1=

1

2

，an+1=

2an

1+ a 2 n

(n∈N*)．
（1）證明函數f（x）是奇函數；
（2）求數列{f（a_n）}的通項公式；
（3）令An=

a1+a2+…+an

n

(n∈N*)，證明：當n≥2時，|

n

i=1

ai-

n

i=1

A1|＜

n-1

2

．

已知數列{α_n}的前n項和為S_n，α₁=l，S_n=（2ⁿ-1）α_n（n∈N^*）．
（1）證明：數列{α_n}是等比數列；
（2）記T_n=n×α₁+（n-1）α₂+（n-2）α₃+…+2×α_n-1+1×α_n（n∈N^*），求L；
（3）證明：當n≥2（n∈N^*）時，（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_n）≤6（1-2α_n+1）．

已知：函數f(x)=-

1

6

x3+

1

2

x2+x，x∈R．
（Ⅰ）求證：函數f（x）的圖象關于點A(1，

4

3

)中心對稱，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）設g（x）=f′（x），a_n+1=g（a_n），n∈N^₊，且1＜a₁＜2，求證：
（ⅰ）請用數學歸納法證明：當n≥2時，1＜an＜

3

2

；
（ⅱ）|a1-

2

|+|a2-

2

|+…+|an-

2

|＜2．