題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）已知函數(shù)
（I）若函數(shù)
在區(qū)間
上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）當(dāng)
時(shí)，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
（Ⅲ）求證：解：（1）
，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052512313679685506/SYS201205251234077812428021_ST.files/image007.png">，則
令
，
則
，
當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
在（0，1）上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值. （3分）
函數(shù)在區(qū)間
上存在極值，
，解得
（4分）
（2）不等式，即
令
（6分）
令
，則
，
，即
在
上單調(diào)遞增， （7分）
，從而
，故
在上單調(diào)遞增， （7分）
（8分）
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，
恒成立，即
，
令
，則
， （9分）
（10分）
以上各式相加得，
即
，
即
（12分）
。
已知函數(shù)
的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)
，曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當(dāng)
時(shí)，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當(dāng)
時(shí)，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無(wú)解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時(shí)，，令得
當(dāng)
變化時(shí)，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時(shí), 
.當(dāng)
時(shí), 
,最大值為0；
當(dāng)
時(shí), 在
上單調(diào)遞增。∴在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無(wú)解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無(wú)解，因此
。此時(shí)
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
已知
是公差為d的等差數(shù)列，
是公比為q的等比數(shù)列
（Ⅰ）若 
，是否存在
，有
？請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）若
（a、q為常數(shù)，且aq
0）對(duì)任意m存在k，有
，試求a、q滿足的充要條件；
（Ⅲ）若
試確定所有的p,使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和式數(shù)列中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明.
【解析】第一問中，由
得
，整理后，可得
、
，
為整數(shù)
不存在
、
，使等式成立。
（2）中當(dāng)
時(shí)，則
即
，其中
是大于等于
的整數(shù)
反之當(dāng)時(shí)，其中是大于等于的整數(shù)，則
，
顯然
，其中
、
滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數(shù)
（3）中設(shè)
當(dāng)
為偶數(shù)時(shí)，
式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，式不成立。由式得
，整理
當(dāng)
時(shí)，符合題意。當(dāng)
，為奇數(shù)時(shí)，
結(jié)合二項(xiàng)式定理得到結(jié)論。
解（1）由得，整理后，可得、，為整數(shù)不存在、，使等式成立。
（2）當(dāng)時(shí)，則即，其中是大于等于的整數(shù)反之當(dāng)時(shí)，其中是大于等于的整數(shù)，則，
顯然，其中
、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數(shù)
（3）設(shè)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，式不成立。由式得，整理
當(dāng)時(shí)，符合題意。當(dāng)，為奇數(shù)時(shí)，
由，得
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)，一定有
和
使上式一定成立。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，命題都成立
在
中，滿足
,
是
邊上的一點(diǎn).
（Ⅰ）若
,求向量
與向量
夾角的正弦值；
（Ⅱ）若
，
=m (m為正常數(shù)) 且是邊上的三等分點(diǎn).，求
值；
（Ⅲ）若
且
求
的最小值。
【解析】第一問中，利用向量的數(shù)量積設(shè)向量與向量的夾角為
，則
令=
，得
，又
，則
為所求
第二問因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912192026514838/SYS201207091220070463574796_ST.files/image008.png">，=m所以
，
（1）當(dāng)
時(shí)，則
=
（2）當(dāng)
時(shí)，則
=
第三問中，解：設(shè)
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912192026514838/SYS201207091220070463574796_ST.files/image029.png">
，；
所以
即
于是
得
從而
運(yùn)用三角函數(shù)求解。
（Ⅰ）解：設(shè)向量與向量的夾角為，則
令=，得，又，則為所求……………2分
(Ⅱ)解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912192026514838/SYS201207091220070463574796_ST.files/image008.png">，=m所以，
（1）當(dāng)時(shí)，則
=；-2分
（2）當(dāng)時(shí)，則=；--2分
（Ⅲ）解：設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912192026514838/SYS201207091220070463574796_ST.files/image029.png">，；
所以即于是得
從而---2分
=
=
=
…………………………………2分
令
，
則
，則函數(shù)
，在
遞減，在
上遞增，所以
從而當(dāng)
時(shí)，
設(shè)點(diǎn)
是拋物線
的焦點(diǎn)，
是拋物線
上的
個(gè)不同的點(diǎn)（
）.
（1） 當(dāng)
時(shí)，試寫出拋物線
上的三個(gè)定點(diǎn)
、
、
的坐標(biāo)，從而使得
；
（2）當(dāng)
時(shí)，若
，
求證：
；
（3） 當(dāng)時(shí)，某同學(xué)對(duì)（2）的逆命題，即：
“若，則.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開展研究：
① 試構(gòu)造一個(gè)說明該逆命題確實(shí)是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；
② 對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真，請(qǐng)寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.
【評(píng)分說明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向，則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點(diǎn)為
，設(shè)
，
分別過
作拋物線的準(zhǔn)線
的垂線，垂足分別為
.
由拋物線定義得到
第二問設(shè)
，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為
.
由拋物線定義得
第三問中①取
時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)為，
設(shè)，
分別過
作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為
.由拋物線定義得
，
則
，不妨取
；
；
；
解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，
分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">，所以
，
故可取
滿足條件.
（2）設(shè)
，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.
由拋物線定義得
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">
；
所以
.
（3） ①取時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)為，
設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得
，
則，不妨取；；；，
則
，
.
故
，
，
，
是一個(gè)當(dāng)
時(shí)，該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)
② 設(shè)，分別過作
拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
由
及拋物線的定義得
，即.
因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)
的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān)，所以只要將這點(diǎn)都取在
軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于零，則
，
而
，所以
.
（說明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且
的一組個(gè)不同的點(diǎn)，均為反例.）
③ 補(bǔ)充條件1：“點(diǎn)
的縱坐標(biāo)
（
）滿足 
”，即：
“當(dāng)時(shí)，若
，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿足，則”.此命題為真.事實(shí)上，設(shè)
，
分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由
，
及拋物線的定義得，即，則
，
又由，所以，故命題為真.
補(bǔ)充條件2：“點(diǎn)
與點(diǎn)
為偶數(shù)，
關(guān)于軸對(duì)稱”，即：
“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，則”.此命題為真.（證略）
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單調(diào)遞減