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故當(dāng)船速在內(nèi)時(shí).人船運(yùn)動(dòng)路線可物成三角形.即人能追上小船.船能使人追上的最大速度為.由此可見(jiàn)當(dāng)船速為2.5km/h時(shí), 人可以追上小船. 涉及解答三角形的實(shí)際應(yīng)用題是近年高考命題的一個(gè)冷點(diǎn), 復(fù)課時(shí)值得關(guān)注. 例6 一根水平放置的長(zhǎng)方體形枕木的安全負(fù)荷與它的寬度a成正比.與它的厚度d的平方成正比.與它的長(zhǎng)度l的平方成反比. (1)將此枕木翻轉(zhuǎn)90°.枕木的安全負(fù)荷變大嗎?為什么? (2)現(xiàn)有一根橫斷面為半圓的木材.用它來(lái)截取成長(zhǎng)方形的枕木.其長(zhǎng)度即為枕木規(guī)定的長(zhǎng)度.問(wèn)如何截取.可使安全負(fù)荷最大? 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

[番茄花園1] 本題共有2個(gè)小題，第一個(gè)小題滿分5分，第2個(gè)小題滿分8分。

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，

（1）證明：是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出n為何值時(shí)，取得最小值，并說(shuō)明理由。

同理可得，當(dāng)n≤15時(shí)，數(shù)列{S_n}單調(diào)遞減；故當(dāng)n=15時(shí)，S_n取得最小值．

[番茄花園1]20.

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某輪船公司爭(zhēng)取到一個(gè)相距1000海里的甲、乙兩地的客運(yùn)航線權(quán)。已知輪船限載人數(shù)為400人，輪船每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用與輪船速度的立方成正比例，輪船的最大時(shí)速為小時(shí)25海里。當(dāng)船速為每小時(shí)10海里時(shí)，它的燃料費(fèi)用是每小時(shí)30元；其余費(fèi)用（不論速度如何）都是每小時(shí)480元。你能為該公司設(shè)計(jì)一種較為合理的船票價(jià)格嗎？（假設(shè)公司打算從每個(gè)顧客身上獲得平均利潤(rùn)為a元，輪船航行時(shí)均為滿客）

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如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角，前進(jìn)m（km）后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n（km）范圍內(nèi)（包括邊界）有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿足條件

時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．

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如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的北偏東α角，前進(jìn)4km后在B處測(cè)得該島北偏東β角，已知該島周圍3.5km范圍內(nèi)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行．
（1）若α=2β=60⁰，問(wèn)該船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果有，那么該船自B處向東航行多少距離會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？
（2）當(dāng)α與β滿足什么條件時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)？

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如圖所示，甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15

海里/小時(shí)，在甲船從A島出發(fā)的同時(shí)，乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā)，朝北偏東θ（tanθ=

）的方向作勻速直線航行，速度為m海里/小時(shí)．
（1）若兩船能相遇，求m．
（2）當(dāng)m=10

時(shí)，求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間距離最近，最近距離為多少海里？

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例10 為促進(jìn)個(gè)人住房商品化的進(jìn)程，我國(guó)1999年元月公布了個(gè)人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：

貸款期(年數(shù))

公積金貸款月利率(‰)

商業(yè)性貸款月利率(‰)

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

5.025

……

    汪先生家要購(gòu)買一套商品房，計(jì)劃貸款25萬(wàn)元，其中公積金貸款10萬(wàn)元，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬(wàn)元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問(wèn)：
    (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個(gè)月的還款總數(shù)是多少?
    (參考數(shù)據(jù)：1.004455¹⁴⁴＝1.8966，1.005025¹⁴⁴＝2.0581，1.005025¹⁸⁰＝2.4651)

   講解設(shè)月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月
　　第1月末欠款數(shù)　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款數(shù)　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)²－a (1＋r)－a
    第3月末欠款數(shù)　[A(1＋r)²－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　　＝A(1＋r)³－a (1＋r)²－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款數(shù)　
    得：

　　對(duì)于12年期的10萬(wàn)元貸款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　對(duì)于15年期的15萬(wàn)元貸款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．
　　(2)至12年末，汪先生家按計(jì)劃還款以后還欠商業(yè)貸款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰ ∴X＝41669.53
再加上當(dāng)月的計(jì)劃還款數(shù)2210.59元，當(dāng)月共還款43880.12元．

需要提及的是，本題的計(jì)算如果不許用計(jì)算器，就要用到二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行估算，這在2002年全國(guó)高考第（12）題中得到考查.

例11 醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測(cè)，病毒細(xì)胞的增長(zhǎng)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過(guò)10⁸的時(shí)候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%．

（1）為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物？（精確到天）

（2）第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）

天數(shù)t

病毒細(xì)胞總數(shù)N

…

講解（1）由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n的函數(shù)為, 則由

兩邊取對(duì)數(shù)得 n27.5,

即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.

（2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,

再經(jīng)過(guò)x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,

由題意≤10⁸，兩邊取對(duì)數(shù)得

，

故再經(jīng)過(guò)6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物．

本題反映的解題技巧是“兩邊取對(duì)數(shù)”，這對(duì)實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.

例12 有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +［g(0)- ］?e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).

（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；

（2）求證：當(dāng)g(0)< 時(shí)，湖泊的污染程度將越來(lái)越嚴(yán)重；

（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過(guò)多少天才能使湖水的污染水平下降到開(kāi)始時(shí)污染水平的5%？

講解（1）∵g(t)為常數(shù), 有g(shù)(0)-=0, ∴g(0)= .

(2) 我們易證得0<t₁<t₂, 則

g(t₁)-g(t₂)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,

∵g(0)?<0,t₁<t₂,e>e,

∴g(t₁)<g(t₂) .

故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加，污染越來(lái)越嚴(yán)重.

(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)?e,設(shè)經(jīng)過(guò)t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?

∴=e，∴t= ln20，

故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開(kāi)始時(shí)污染水平的5%.

高考應(yīng)用性問(wèn)題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測(cè)計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問(wèn)題關(guān)注當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的政治,經(jīng)濟(jì),文化, 緊扣時(shí)代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.

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