例4.判斷下列函數是否為同一函數【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數f（x）的定義域內，就有f（a），f（b），f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱f（x）為“保三角形函數”．
（1）判斷下列函數是不是“保三角形函數”，并證明你的結論：
①f（x）=

； ②g（x）=sinx （x∈（0，π））．
（2）若函數h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數，求M的最小值．

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.如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數f(x)的定義域內，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某個三角形的三邊長，則稱f(x)為“保三角形函數”.

（1）判斷下列函數是不是“保三角形函數”，并證明你的結論：

① f(x)＝； ② g(x)＝sinx (x∈(0，π)).

（2）若函數h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函數，求M的最小值.

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； ②g（x）=sinx （x∈（0，π））．
（2）若函數h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數，求M的最小值．

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如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數f（x）的定義域內，就有f（a），f（b），f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱f（x）為“保三角形函數”．
（1）判斷下列函數是不是“保三角形函數”，并證明你的結論：
①f（x）= $數學公式$ ；　　②g（x）=sinx （x∈（0，π））．
（2）若函數h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數，求M的最小值．

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判斷下列函數中哪些是奇函數？哪些是偶函數？哪些是非奇非偶函數？
（1）f（x）=5x+1；
（2）f（x）=3x；
（3）f(x)=-

+1；
（4）f（x）=x²-1．

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1、29；2、=1，=2006

3、[-，]；4、（1）； (2){3,2,6}；5、；6、2n+2；7、a≥4時，定義域為[-2,2];2≤a<4時，定義域為{x|2-a≤x≤a-2};0<a<2時，構不成函數

2.1.1(3) 函數的圖象

[三維目標]

一、知識與技能

1、進一步理解函數圖象的描點畫法；

2、了解并識記圖象的平移、對稱規律；

3、初步掌握用相關點法求函數解析式的思路與方法

二、過程與方法：

通過具體圖象特征得到一般的情況，并由一般再到特殊進行應用

三、情感態度與價值觀：

由特殊→一般→特殊，使學生意識認識事物的一般規律

[重點]平移、對稱規律

[難點]平移、對稱的應用――相關點法

[過程]一、問題情景1：如果f:A→B是集合A到B的一個函數,那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈A}的幾何意義是什么?（函數y=f(x)圖象上的點，這樣可以將函數圖象上的點描出）

問題情景2：初中階段作函數的方法步驟是什么？（列表――描點------連線）。

二、新課：引入主題――函數的圖象

例1、作出下列函數的圖象⑴y=x(|x|≤1) ⑵y=1-x（-1≤x≤2,x∈Z） ⑶y= ⑷y=

解：⑴⑵

⑶定義域{x|x≠1，x∈R},y==x

⑷y=|x|,當x≥0時，y=x；當x<0時，y=-x

說明1：作函數圖象的方法步驟：列表――描點------連線。其中列表是為了描點，可以略去；連線看具體函數是否需要，故主要在于描點。也就是說，函數圖象的一般作法是描點法

說明2：作函數圖象一定要注意定義域，復雜的要先化簡后畫圖，畫圖時要體現三要素：原點、正方向（用箭頭表示）、長度單位（可以用一個點的坐標來體現）

例2、畫出函數y=x²+1的圖象，

（1）將f(-2),f(1)與f(3)從小到大用<號連接起來；（2）對于0<x₁<x₂,比較f(x₁)與f(x₂)的大小（教材例2）

例3、在同一坐標系內作出f(x)=x²,g(x)=(x-1)²,h(x)=x²+1的圖象，由之可以看出什么規律？

解：圖象可以看出，將f(x)=x²的圖象向右平移一個單位得到g(x)=(x-1)²=f(x-1)的圖象；將f(x)=x²的圖象向上平移一個單位得到h(x)=x²+1=f(x)+1的圖象

說明：一般的，將y=f(x)向右平移m個單位得到y=f(x-m)的圖象；將y=f(x)的圖象向上平移n個單位得到y=f(x)+n的圖象。

例4、設f(x)=(x>0)，作出它以及y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)的圖象

解：

說明：y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于y軸對稱；y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于x軸對稱；y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于原點對稱

三、總結：本節主要講了三點內容

1、描點法畫函數的圖象（注意三要素的描出）；

2、圖象的基本變換:

y=f(x)+ny=f(x)y=f(x-m),

3、y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于y軸對稱；y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于x軸對稱；y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于原點對稱

四、練習：教材28頁內容

作業： P29____3,6，11

[補充習題]

1、在同一坐標系內，函數y=ax²+bx與y=ax+b(ab≠0)的圖象可以是下列中的（）

2、函數y=x+的圖象是下列中的（）

3、函數f(x)=x²+bx+c,且f(-1)=f(3),則f(1),c,f(-1)從小到大的順序是_____________;f(1),f(2),f(4)從小到大的順序是__________________

4、垂直于x軸的直線x=a與一個函數y=f(x)交點的個數為_______________

5、y=f(x)圖象向左平移一個單位后如圖，比較f(1.5)與f(2)的大小

6、求函數y=x²-4x+6,x∈與y=2x-的值域區間

7、寫出函數f(x)=x²-x關于y軸對稱、x軸對稱及原點對稱的函數關系式

*8（選作）根據函數y=(k>0)的對稱中心為(0,0),求函數y=(b>a)的對稱中心

[參考答案]1、C；2、C；3、f(1)<c<f(-1),f(1)<f(2)<f(4);4、至多一個；

5、f(2)>f(1.5); 6、(1);(2)。

7、關于y軸對稱f(-x)=x²+x；關于x軸對稱-f(x)=-x²+x；關于原點對稱-f(-x)=-x²-x

*8、y=1+,設f(x)=,則1+=f(x+a)+1,y=f(x)向左平移a個單位，再向上平移1個單位得到y=f(x+a)+1的圖象；而y=f(x)的對稱中心為(0,0),原函數的對稱中心為(-a,1)

2.1.2(1) 具體函數的表示方法

[三維目標]

一、知識與技能：

1、了解具體函數表示法是對應法則的三種方式；

2、會根據分段函數、常數函數求值，并會畫其圖象

二、過程與方法：

1、通過復習函數要素的條件，來說明函數表示的三種形式；

2、通過實例說明常數函數與分段函數，進而會分段函數表示與求值

三、情感態度和價值觀：

1、由要素到表示法，體會聯系變化的觀點；

2、實例說明常數函數與分段函數，來體會發展的觀念

[重點與難點]分段函數的應用

[過程]一、復習函數的三要素：定義域、值域、對應法則

二、問題情景：購買某種飲料x聽，所需錢數為y元，若每聽2元，試表示x∈{1,2,3,4}時的函數關系。

表示一：

x（聽）

y（元）

（說明：這一表示方法稱列表法）

表示二：在坐標系內作出函數的圖象，有：

這一方法稱圖象法

表示三：y=2x, x∈{1,2,3,4};

這一方法稱解析法

一般具體函數的表示，可以用圖表形式來體現對應關系――列表法；可以用圖象形式來體現對應關系――圖象法；可以用初中階段的關系表達式體現對應關系――解析（式）法。引入主題：具體函數的表示方法

二、典例剖析

例1、國內投寄信件（外埠），每封信不足20克付郵資80分，超過20克不超過40克付郵資160分，依此類推，寫出以每封信x克(x≤60)為自變量，以應付郵資y（分）為函數值的函數關系式并畫出函數的圖象

解：y=,圖象如圖

象這樣，將定義域分成幾個不同的范圍，在不同范圍上對應法則也不同，反應到圖象上分成了數段，稱分段函數.注意：分段函數是一個函數而不是多個函數，所以書寫時用單向大括號分別列出不同的對應情況。

練習1：作出下列函數的圖象：(1)y=|x|; (2) f(x)=|x+3|;(3) y=|x+5|+|x-3|

練習2：y=1(x∈R)是否為一個函數，是作出其圖象（是函數，圖象如圖(1), 函數值恒為某一個值，這樣的函數稱常數函數）

例2、某市出租汽車收費標準如下：在3km以內（含3km）路程按起步價7元收費，超過3km以外的路程按2.4元/km收費，試寫出收費關于路程的函數解析式

解：設路程為xkm時，收費為y元，則y=

練習：教材P31---1,3

思考：是否所有的函數都有圖象？（未必，如D(x)=就沒有圖象）

例3、已知f(x)=,求f(0)、f(7)的值

解：f(0)=f(4)=f(8)=f(12)=12+3=15,f(7)=f(11)=14

三、總結及作業：

函數的表示方法有列表法、圖象法、解析式法，分段函數與常數函數式是兩種特殊的函數。作業P32_1、2、5、6、7、8、11

[補充習題]

1、國家征收個人所得稅是分段計算的，總收入不超過1600元的，免征個人所得稅；超過1600元的部分需要爭稅，設全月納稅所得額為m，m=全月總收入-1600元，稅率見下表：

級數

全月納稅所得額

稅率%

級數

全月納稅所得額

稅率%

不超過500元部分

超過40000元60000至元部分

超過500元至2000元部分

超過60000元80000至元部分

超過2000元至5000元部分

超過80000元100000至元部分

超過5000元至20000元部分

超過100000元至200000元部分

超過20000元至40000元部分

超過200000元部分

若某人月收入為x元，所納稅為y元，則y是x得函數的大致圖象可能是（）

2、入圖，矩形ABCD的邊AB=5cm,BC=4cm,動點P從A出發，在折線AD-DC-CB上以1cm/s的速度向B勻速移動，則△ABP面積S(cm²)與運動時間t(s)之間的函數關系是圖中的（）

4、函數f(x)=,若f(x)=3,則x=_____________

5、函數f(x)=,則f[f()]=________________

6、根據函數f(x)的圖象，寫出其解析式_____________________

7、作出函數y=|x²-2x|+1的圖象

8*（選作）說明方程|x²-4x+3|=a實數根的解的個數

[參考答案]1、B；2、A；3、B；4、；5、3/2；6、f(x)=

7、略；8*、作圖象知道，a<0時，無解；a=0或a>1時，方程有兩個不同的實數解；a=1時，有三個實數解；0<a<1時，有四個解

2.1.2(2)函數解析式的求法

[三維目標]

一、知識與技能

1、掌握求函數解析式的直接法、待定系數法、拼湊與換元的一般方法

2、理解求函數解析式的消元法、賦值法特殊方法

3、在賦值法基礎上，了解抽象函數的有關概念

二、過程與方法

通過復習引入直接法與待定系數法，通過差異分析找出拼湊、換元、賦值法

三、情感態度與價值觀

通過推陳出新，來體會聯系發展的辨證關系

[重點、難點]解析式求法

[備注]本節是一個課件03

[過程] 一、情景引入：復習函數的表示方法有哪些？最常用的是什么方法？（答：函數表示方法有解析式法、列表法、圖象法三種。解析式法是最常用的表示方法。）

問題：函數的解析式怎樣求呢？（標題：函數解析式求法）

二、典例分析

例1，已知f(x)=,求g(x)=的解析式

分析：f(x)是分類定義的，相應的f(x-1)與f(x-2)也是分類定義的

解：f(x-1)=,f(x-2)=

g(x)=

說明：這一方法，根據f(x)的定義而直接求g(x)的解析式，稱直接法

練習：已知函數=4x+3，g(x)=x,求f[g(x)]（解：f[g(x)]=4g(x)+3=4x+3；）

說明：[f(x)]²常常寫成f²(x)

例2、f(x+1)=4x²+8x+7,求f(x)的解析式

解：[方法一]f(x+1)= 4[(x+1)-1]²+8[(x+1)-1]+7=4[(x+1)²-2(x+1)+1]+8(x+1)-8+7

=4(x+1)²+3 ∴f(x)=4x²+3

說明：該題因為左邊自變量為x+1，右邊也變成含有它的式子，這一方法稱拼湊法，拼湊的技巧是“先寫后算”，即先寫上要拼湊的結果x+1,再看多算了什么，進行加、減、乘、除四則運算，以保持式子的值相等

[方法二]令x+1=t則x=t-1 f(t)=4(t-1)²+8(t-1)+7=4t²-8t+4+8t-8+7=4t²+3

∴f(x)=4x²+3

說明：這一方法是將x+1看作一個變量t，稱代換法或換元法，這也是已知f[g(x)]的解析式求f(x)解析式的一種方法。

練習：若,求f(x) （ (x≥1)）

例3、已知f(x)是x的一次函數，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)

解：設f(x)=ax+b(a≠0)，則f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a²x+ab+b=4x-1有

解得或∴f(x)=2x-或f(x)=-2x+1之一

說明：象這樣已知f(x)的結構形式時，可以先設成其結構式（如：一次函數設為ax+b二次函數設為ax²+bx+c,其中a≠0），在根據條件求出相應的系數，代回到原設的式子中，而得出解析式，這一方法稱待定系數法。

例4，對一切非零實數x，有f(x)+2f()=3x,求f(x)

分析：該式有兩個變量f(x)和f()，要解出f(x)，不可能；需要再造出一個f(x)和f()的方程，如何造呢？觀察式子的特征：再f作用下僅有兩個量x及，于是想到能否用一個代替另一個而得到一個方程呢？

解：由f(x)+2f()=3x ① 以代替x得f()+2f(x)=3 ②

由①②消去f()得f(x)=-x(x≠0)

說明：當發現“f”作用下，僅有x及另外一個與x有關的式子時，可以用該式代替x，得到另一個關系式，消去其他即可得到f(x)的解析式，這一方法與解方程組方法類似，稱消去法。

練習：已知f(x)滿足f(0)=1,對任意實數x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求函數f(x)的解析式（令x=y得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)故f(x)=x²+x+1;另法：令x=0得f(-y)=f(0)-y(-y+1),從而f(-y)=1-y(-y+1),f(x)=x²+x+1說明：這一解法是對x、y取一定值而求出的，也稱賦值法，解時要分析已知與結論之間的差異進行賦值，這是求抽象函數解析式的常用方法）

1、這種通過比較已知與結論間的差異，再消除差異，從而使問題獲得解決的思想方法稱差異分析法。它是求數學計算性題最常用的方法。

2、該題消除差異的具體方法是對x、y取一定值而求出的，稱賦值法。

三、[總結]求f(x)解析式的常用方法有

1，直接法

2，待定系數法：已知f(x)的結構形式時

3，拼湊或換元法：已知f[g(x)]解析式求f(x)解析式時

4，代入消元法：當“f”作用下，時，僅有x及另外一個與x有關的式子，可以用代換法得到另一式,消去其他，解出f(x)（有時用差異分析的賦值法）

四、作業：教材P32----3,4,10,13

[補充習題]

1，已知f(x)圖象如圖，則f(x)的解析式為（）

A, B, C, D,x²-2|x|+1

2,對任意x、y∈R,有f(xy)=f(x)+f(y),則下列結論中正確的序號為____（可以填多個）

①f(1)=0; ②f()=-f(x) ③f()=f(x)-f(y) ④f(x)<f(x)+f(1)

3，已知函數f(+1)=x+1,則函數f(x)的解析式為( )?

A.f(x)=x² B.f(x)=x²+1(x≥1)?C.f(x)=x²－2x(x≥1)D.f(x)=x²－2x+2(x≥1)

4，⑴f(3x-4)=9x²-12x+16,則f(x)=____________;

⑵f(2x+1)=x²-2x,則f()=___________;

⑶f(x-)=x²+,則f(x)=_______________

5,一個實系數的一次函數f(x),滿足f{f[f(x)]}=8x+7,則f(x)=______________

6,已知f(x)=,f(a)=3,則a=__________

7、已知f(x)=3x-1,g(x)=2x+3,求f[g(x)],g[f(x)]

8，已知f(x)是x的二次函數，f(2x)+f(3x+1)=13x²+6x-1,求f(x)

9、f(x)對x>0時有f(x₁x₂)=f(x₁)+f(x₂),且f(27)=8,求f()的值

10（選作）已知f(x)滿足af(4x-3)+bf(3-4x)=2x(其中a²≠b²)條件時，求其解析式

[答案]1，B; 2,①②③; 3，C；4,⑴x²+4x+16;⑵;⑶x²+2; 5,2x+1

6,；7，f[g(x)]=6x+8,g[f(x)]=6x+1；8、f(x)=x²+1；9、f(27)=f(3×3×3)=f(3)+f(3)+f(3)=3f(3)=6f()=8,f()=；8,設4x-3=t,有af(t)+bf(-t)=,以-t代替t得af(-t)+bf(t)= ,從中消去f(-t)得f(t)= ;f(x)=

2.1.3(1)函數的單調性定義及圖象觀察法

[三維目標]

一、知識與技能

1、理解函數單調性的概念

2、掌握圖象觀察法確定函數的單調區間

二、過程與方法

通過圖象引入函數單調性的定義，并指明判斷函數單調性的圖象方法及注意事項

三、情感態度與價值觀

通過具體→抽象的匯總，培養學生的抽象能力及應用能力，體驗認識事物的具體→抽象→具體的過程

[教學重點難點]在某個區間上單調增（或減）與單調增（或減）區間的區別

[授課類型]：新授課

[教學過程：]

一、問題情景：作出函數y=|x²-2x-3|的圖象，從圖象觀察，x在什么區間上y隨x的增大而增大，在什么區間上y隨x的增大而減小？

( 在區間[-1,1] 及[3，+∞)上y隨x的增大而增大，在區間(-∞,1]及[1,3]上y隨x的增大而減小)

象這樣，y隨x的增大而增大（減小）的區間，我們稱函數在這個區間上單調增（減），相應的函數稱增函數（或減函數）。若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函數的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.

二、要點內容：

通過圖象得到的這樣的區間，我們稱圖象觀察法。

問：上面引例中的函數，在區間[4,+∞）上單調性如何？能否說這個函數的單調增區間是[4,+∞）？（單調增，不能，說“函數的單調區間是…”是針對整個定義域而言的，既不能多，也不能少，那怕是一個值；而“函數在××區間上單調增（或減）”或“函數在××區間上是增（或減）函數”，可以是其中一部分區間。注意區分這種說法的不同）

練習1：教材P37----6,

練習2：練習：作出函數y=|x²-x-6|的圖象，并指出其單調區間

（解答：增區間[-2,]及,減區間及[，3]）

說明1：函數的單調性是對某個區間而言的，有多個增（或減）區間時，是在各自單獨的區間列上單調，而不是取并集后形成的一個集合上單調。

說明2：中學階段研究的主要是連續函數或分段連續函數，在考慮它的單調區間時，能包括的盡量包括端點；還要注意，對于在某些點上不連續的函數，單調區間不包括不連續點.

例：對于函數f(x)=x²-2ax+2,求下列條件下實數a的值或范圍

⑴函數的單調增區間為；⑵函數在上單調增

解：⑴函數f(x)的對稱軸為x=2,因其增區間為，對稱軸應為x=2,而二次函數只有一個對稱軸，故a=2

⑵函數在上單調增,只要對稱軸不在區間的右側，故a≤2

思考：知道函數圖象的，可以用圖象觀察法得到單調區間，但有的函數不知道函數圖象，那么如何給函數單調性下個定義呢？

定義：對于函數的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值，⑴若當<時，都有<,則說在這個區間上是增函數，有的書上用符號↑；⑵若當<時，都有>,則說在這個區間上是減函數. 有的書上用符號↓

練習1：教材P37----6

練習2：x>0時，f(x)>f(0),則f(x)單調增。正確嗎？（不正確）

三、小結

1、函數的單調區間是區間列，不是一個集合，所以在多個區間時，不能用并相連。書寫時能包含的盡量包含端點。

2、函數在那個區間上單調增（或減），這個區間可能比增（或減）區間要“小”；而函數的增（或減）區間是誰，是指該區間恰好是增（或減）區間，不能“多”，也不能“少”，它們是兩個不同的概念。

3，圖象觀察法判斷函數單調性也就是看函數的圖象從左到右是上升還是下降。

4、函數單調性定義注意是針對的任意點

四、課后作業：課本P43-----1，2，

[補充習題]

1、填表

函數

單調區間

單調性

y=+b

k>0

k<0

y=ax²+bx+c

a>0

a<0

2、函數y=|x-1|+|x-4|的單調增區間是__________,單調減區間為___________

3、函數y=的單調區間是___________

4、⑴函數f(x)=x²+ax+1在上單調減，則實數a的范圍是__________⑵函數f(x)=-x²+ax+2+a²在上是增函數，在上是減函數，則a=___

5、二次函數f(x)滿足f(2+x)=f(2-x),又f(x)在[0,2]上是增函數，且f(a)≥f(0),則實數a的范圍是________________

6、根據自己舉出的函數例子或畫圖填空

⑴若y=f(x)在區間I上單調增，則A>0時y=Af(x)+B在區間I上的單調性為__________, A<0時y=Af(x)+B在區間I上的單調性為__________

⑵若y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱，且在區間[a+c,a+3c]上單調減，則在其對稱區間[a-3c,a-c]上的單調性為_____________

⑶若y=f(x)關于點(0,0)對稱，在區間(a,b)（a>0）上單調增,則在點(0,0)的對稱區間(-b,-a)上，f(x)的單調性為_____________

7、函數f(x)=mx²-(5m-2)x+m²-4在上是增函數，求實數m的取值范圍

8、畫出下列函數的圖象，并指出其單調區間

⑴y=3 ⑵y=||x|-3|

9*（選作）若函數f(x)=a|x-b|+2在上為增函數，求實數a、b的取值范圍

函數

單調區間

單調性

y=+b

k>0

(-∞,0)及（0，+∞）

↓

k<0

（-∞,0）及(0,+∞)

↑

y=ax²+bx+c

a>0

↓

↑

a<0

↑

↓

[參考解答]：

1、

2、，； 3、單調減區間為(-∞，-1)及(-1,+∞)

4、⑴a≤-2；⑵6； 5、[0，4]； 6、⑴增，減；⑵增；⑶減

7、m=0時，f(x)=2x-4滿足條件；m≠0時，，0<m≤2；總之m的范圍是[0，2]

8、⑴無單調區間

⑵單調增區間[-3,0]、

單調減區間、[0，3]

9*、f(x)= 在上為增函數,作出圖象

2.1.3(2)函數的單調性定義驗證法

[三維目標]

一、知識與技能

1、了解函數單調性的定義有原始定義和變形定義兩種

2、會用定義驗證函數的單調性

二、過程與方法

通過具體的例子說明函數單調性證明的定義驗證法的一般步驟：設值----作差變形-----判斷，并由此導出變形的具體常見技巧

三、情感態度和價值觀

體會變形的具體技巧

[重點]單調性定義驗證法的步驟

[難點]變形的技巧

[過程]

一、復習引入：

問題1：函數單調性判斷的方法是什么？定義是什么？

答：、圖象觀察法；對于函數的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值，⑴若當<時，都有<,則說在這個區間上是增函數，有的書上用符號↑；⑵若當<時，都有>,則說在這個區間上是減函數. 有的書上用符號↓

問題2：如果不知函數的圖象，怎么知道其單調性？（答：定義驗證）

問題3：如何進行定義驗證？（引入主題函數單調性的定義驗證法）

二、新課內容

例1、證明函數f(x)=在定義域內單調增

證明：函數的定義域為

[方法一]設x₁,x₂為上任意兩個值，x₁<x₂,

則f(x₂)-f(x₁)=-=

∵x₂>x₁ ∴x₂-x₁>0 而+>0 ∴f(x₂)>f(x₁) ∴函數f(x)=在定義域內單調增

[方法二]f²(x₂)-f²(x₁)=x₂-x₁>0,∴f²(x₂)>f²(x₁) ∵f(t)=t²在t≥0上單調增 ∴f(x₂)>f(x₁) ∴函數f(x)=在定義域內單調增

說明：證明一個函數單調性的一般步驟為：設值――作差變形――判斷結論

例2、證明函數y=x³在(-∞,+∞)上單調增

證明：任意實數x₁,x₂,x₁<x₂,

有y₂-y₁=x₂³-x₁³=(x₂-x₁)(x₂²+x₂x₁+x₁²)=(x₂-x₁)[(x₂+)²+]

∵x₁<x₂∴x₂-x₁>0, (x₂+)²+>0 ∴y₂>y₁ ∴函數y=x³在(-∞,+∞)上單調增

說明：證明一個函數單調性的常見變形有：分解因式、配平方、乘方及開方（限于非負數）、有理化

例3、求函數f(x)=x+在（2，+∞）及(0,2)上的單調性

解：對于任意x₂>x₁>2,f(x₂)-f(x₁)= (x₁x₂-4),x₁x₂>x₁²>4,f(x₂)>f(x₁),∴f(x) 在（2，+∞）上↑

對于任意x₁,x₂∈(0,2)；0<x₁<x₂,f(x₂)-f(x₁)=x₂+-(x₁+)=(x₁x₂-4)

>0,x₁²<x₁x₂<x₂², ∴x₁x₂-4<x₂²-4≤0，即x₂≤2時，f(x₂)-f(x₁)<0,f(x)在(0,2)上單調增

說明：仿此同理還可以證出，函數y=x+(k>0)在↑，在↓這是一個很常見的結論，也是高考命題的高頻點，請記住該結論

三、總結：

驗證一個函數的單調性，一般用定義進行，定義含有原始定義和變形定義；其步驟為：設值――作差變形――判斷結論，常見變形有：分解因式、配平方、乘方及開方（限于非負數）、有理化

證明一個函數的單調性，目前只能用定義。

四、作業：教材P43----4，7

[補充習題]

1、判斷函數f(x)=x²-在區間（0，+∞）上的單調性，并證明

2、用定義證明f(x)=-x在R上是減函數

3、當a≠0時，討論函數f(x)=(-1<x<1)的單調性

4、已知函數f(x)對任意實數x,y，有：f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時有f(x)>0

（1）求f(0)的值；(2)判斷f(x)與f(-x)的大小關系；(3)判斷f(x)的單調性并證明；(4)如果定義域變為(0,+∞)，其余條件不變，而且已知f(2)=1,解關于x的不等式f(x)+f(x-3)<3

[解答參考]1、增；2、證明時分子有理化；3、a>1時，減；a<1時，增；4、(1)令x=y=0,可以得到f(0)=0；(2)f(-x)=-f(x)；(3)對于任意x₂,x₁,x₂>x₁,f(x₂)-f(x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂-x₁)>0,f(x₂)>f(x₁),f(x)↑(4)由已知可以導出f(6)=3，f(x+x-3)<f(6)即f(2x-3)<f(6),3<x<