題目列表(包括答案和解析)
已知函數
，
，其中
．
(1)若
是函數
的極值點，求實數
的值；
(2)若對任意的
（
為自然對數的底數）都有
成立，求實數的取值范圍．
已知函數
，
，其中
．
（1）若
是函數
的極值點，求實數
的值；
（2）若對任意的
（
為自然對數的底數）都有
≥
成立，求實數的取值范圍．
已知函數
，
，其中
．
（1）設函數
，若
在區間
是單調函數，求
的取值范圍；
（2）設函數
，是否存在，對任意給定的非零實數
，存在惟一的非零實數
（
），使得
成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
已知函數
，
，其中
．
（1）若
是函數
的極值點，求實數
的值；
（2）若對任意的
（
為自然對數的底數）都有
≥
成立，求實數的取值范圍．
已知函數
，
，其中
．
（1）若
是函數
的極值點，求實數
的值；
（2）若對任意的
（
為自然對數的底數）都有
≥
成立，求實數的取值范圍．
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
D
A
B
D
C
B
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．第13題第1個空3分,第2個空2分.
11．0
12．79
13．
，
14．1
15．6
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題主要考查三角函數性質和三角函數的基本關系等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力）
解：（1）
．
∵
R，
∴函數
的值域為
．
（2）∵
，
，
∴
，
．
∵
都是銳角，
∴
，
．
∴
∴
的值為
．
17．（本小題主要考查古典概型等基礎知識，考查化歸和轉化、分類與整合的數學思想方法，以及簡單的推理論證能力）
解：由于實數對
的所有取值為：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共16種．
設“直線
不經過第四象限”為事件
，“直線
與圓
有公共點”為事件
．
（1）若直線不經過第四象限，則必須滿足
即滿足條件的實數對
有，，，，共4種．
∴
．
故直線不經過第四象限的概率為
．
（2）若直線與圓有公共點，則必須滿足
≤1，即
≤
．
若
，則
符合要求，此時實數對（
）有4種不同取值；
若
，則
符合要求，此時實數對（）有2種不同取值；
若
，則符合要求，此時實數對（）有2種不同取值；
若
，則符合要求，此時實數對（）有4種不同取值．
∴滿足條件的實數對共有12種不同取值．
∴
．
故直線與圓有公共點的概率為
．
18．（本小題主要考查空間線面關系、幾何體的表面積與體積等知識，考查數形結合的數學思想方法，以及空間想象能力、運算求解能力）
（1）證法1：如圖，連結
，
∵
是長方體，
∴
且
．
∴四邊形
是平行四邊形．
∴
．
∵
平面
，
平面，
∴
平面．
證法2：∵是長方體，
∴平面
平面．
∵
平面，平面，
∴平面．
（2）解：設
，∵幾何體
的體積為
，
∴
，
即
，
即
，解得
．
∴
的長為4．
（3）如圖，連結
，設的中點為
，連
∵是長方體，∴
平面．
∵平面，∴
．
∴
．同理
．
∴
．
∴經過
，
，，
四點的球的球心為點．
∵
．
∴
．
故經過，，，四點的球的表面積為
．
19．（本小題主要考查橢圓、圓的方程和圓與圓的位置關系等基礎知識，考查數形結合思想，以及運算求解能力）
解：（1）∵橢圓
的離心率為
，且經過點
，
∴
即
解得
∴橢圓
的方程為
．
（2）∵
，
，∴
．
∴橢圓的左焦點坐標為
.
以橢圓的長軸為直徑的圓的方程為
，圓心坐標是
，半徑為2.
以
為直徑的圓的方程為
，圓心坐標是
，半徑為
.
∵兩圓心之間的距離為
，
故以為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內切.
20．（本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式與前
項求和公式等知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）
解：設等比數列
的首項為
，公比為
，
若
，
，
成等差數列，
則
．
∴
．
∵
，
，∴
．
解得
或
．
當時，∵
，
，
，
∴
．
∴當時，
，
，
不成等差數列．
當時，，
，
成等差數列．下面給出兩種證明方法．
證法1：∵
，
∴
．
∴當時，，，成等差數列．
證法2：∵
，
又
，
∴．
∴當時，，，成等差數列．
21．（本小題主要考查函數的性質、函數與導數等知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力）
（1）解法1：∵
，其定義域為
，
∴
．
∵
是函數
的極值點，
∴
，即
，
∵
，∴
．
經檢驗，當時，
=1是函數
的極值點，
∴． ?
解法2：∵，其定義域為，
∴．
令
，即
，整理得，
．
∵
，
∴的兩個實根
（舍去），
，
當變化時，，
的變化情況如下表：
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