題目列表(包括答案和解析)
的前
項(xiàng)和為
，若
，
，則
的值是 .已知等比數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，若
，
，則
的值是 .
已知等比數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，若
，則
的值是 ．
已知等比數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，若
，且
求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和.
已知等比數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，若
，則
的值是 .
說明：1．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點(diǎn)和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．
2．對解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．
4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運(yùn)算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
C
B
A
D
D
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13~15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計(jì)算前二題得分．第12題第1個空3分，第2個空2分.
9．2
10．79
11．0 或 2 12．16，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image297.gif)
13．1 14．3 15．6
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）
解：（1）班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image299.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image301.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image303.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image305.gif)
，
∴函數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image032.gif)
的值域?yàn)?sub>班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image307.gif)
．
（2）∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image181.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image183.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image309.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image311.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image313.gif)
都為銳角，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image315.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image317.gif)
．
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image319.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image321.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image323.gif)
．
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image185.gif)
的值為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image325.gif)
．
17．（本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等基本知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）
解：（1）設(shè)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image327.gif)
,∵幾何體班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image204.gif)
的體積為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image206.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image330.gif)
，
即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image332.gif)
，
即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image334.gif)
，解得班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image336.gif)
．
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image208.gif)
的長為4．
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image337.gif)
（2）在線段班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image210.gif)
上存在點(diǎn)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image072.gif)
，使直線班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image213.gif)
與班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image215.gif)
垂直．
以下給出兩種證明方法：
方法1：過點(diǎn)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image343.gif)
作的垂線交班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image346.gif)
于點(diǎn)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image293.gif)
，過點(diǎn)作班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image349.gif)
交于點(diǎn)．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image353.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image355.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image357.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image359.gif)
平面班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image361.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image363.gif)
平面，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image365.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image367.gif)
，∴平面班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image369.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image371.gif)
平面，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image373.gif)
．
在矩形班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image375.gif)
中，∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image377.gif)
∽班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image379.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image381.gif)
，即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image383.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image385.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image387.gif)
∽班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image389.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image391.gif)
，即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image393.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image395.gif)
．
在班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image397.gif)
中，∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image399.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image401.gif)
．
由余弦定理，得班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image403.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image405.gif)
．
∴在線段上存在點(diǎn),使直線與垂直，且線段的長為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image410.gif)
．
方法2：以點(diǎn)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image412.gif)
為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image414.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image416.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image418.gif)
所在的直線為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image133.gif)
軸，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image135.gif)
軸，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image422.gif)
軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由已知條件與（1）可知，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image424.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image426.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image428.gif)
，
假設(shè)在線段上存在點(diǎn)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image430.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image432.gif)
≤≤2，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image435.gif)
，0≤≤班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image438.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image440.jpg)
使直線與垂直，過點(diǎn)作班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image443.gif)
交班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image131.gif)
于點(diǎn)．
由班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image447.gif)
∽班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image449.gif)
，得班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image451.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image453.gif)
．
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image455.gif)
．
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image457.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image459.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image461.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image463.gif)
，
即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image465.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image467.gif)
．
此時點(diǎn)的坐標(biāo)為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image469.gif)
，在線段上．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image471.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image473.gif)
．
∴在線段上存在點(diǎn)，使直線與垂直，且線段的長為．
18．（本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image020.gif)
項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）
解：設(shè)等比數(shù)列班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image218.gif)
的首項(xiàng)為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image476.gif)
，公比為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image478.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image480.gif)
，
若班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image223.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image225.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image227.gif)
成等差數(shù)列，
則班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image482.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image484.gif)
．
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image486.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image488.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image490.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image492.gif)
．
解得班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image494.gif)
或班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image496.gif)
．
當(dāng)時，∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image498.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image500.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image502.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image504.gif)
．
∴當(dāng)時，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image231.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image233.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image235.gif)
不成等差數(shù)列．
當(dāng)時，，，成等差數(shù)列．下面給出兩種證明方法．
證法1：∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image507.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image509.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image511.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image513.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image515.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image517.gif)
．
∴當(dāng)時，，，成等差數(shù)列．
證法2：∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image520.gif)
，
又班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image522.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image524.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image526.gif)
，
∴．
∴當(dāng)時，，，成等差數(shù)列．
19．（本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）
解：（1）∵一次摸球從班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image529.gif)
個球中任選兩個，有班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image531.gif)
種選法，
任何一個球被選出都是等可能的，其中兩球顏色相同有班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image533.gif)
種選法，
∴一次摸球中獎的概率班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image535.gif)
．
（2）若班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image242.gif)
，則一次摸球中獎的概率班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image538.gif)
，
三次摸球是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，三次摸球恰有一次中獎的概率是
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image540.gif)
．
（3）設(shè)一次摸球中獎的概率為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image018.gif)
，則三次摸球恰有一次中獎的概率為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image543.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image545.gif)
，
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image547.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image244.gif)
在班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image550.gif)
上為增函數(shù)，在班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image552.gif)
上為減函數(shù)．
∴當(dāng)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image554.gif)
時，取得最大值．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image556.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image558.gif)
≥班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image560.gif)
，
解得班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image562.gif)
．
故當(dāng)時，三次摸球恰有一次中獎的概率最大．
20．（本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）
（1）解法1：∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image565.gif)
，其定義域?yàn)?sub>班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image567.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image569.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image252.gif)
是函數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image572.gif)
的極值點(diǎn)，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image574.gif)
，即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image576.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image250.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image579.gif)
．
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時，是函數(shù)的極值點(diǎn)，
∴．
解法2：∵，其定義域?yàn)?sub>班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image583.gif)
，
∴．
令班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image585.gif)
，即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image587.gif)
，整理，得班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image589.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image591.gif)
，
∴的兩個實(shí)根班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image593.gif)
（舍去），班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image595.gif)
，
當(dāng)變化時，，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image599.gif)
的變化情況如下表：
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image602.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image604.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image606.gif)
―
0
＋
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image608.gif)
極小值
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image610.gif)
依題意，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image612.gif)
，即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image614.gif)
，
∵，∴．
（2）解：對任意的班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image258.gif)
都有班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image262.gif)
≥班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image264.gif)
成立等價于對任意的都有班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image619.gif)
≥班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image621.gif)
．
當(dāng)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image624.gif)
［1，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image260.gif)
］時，
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