題目列表(包括答案和解析)
已知函數
，
，其中
．
(1)若
是函數
的極值點，求實數
的值；
(2)若對任意的
（
為自然對數的底數）都有
成立，求實數的取值范圍．
已知函數
，
，其中
．
（1）若
是函數
的極值點，求實數
的值；
（2）若對任意的
（
為自然對數的底數）都有
≥
成立，求實數的取值范圍．
已知函數
，
，其中
．
（1）設函數
，若
在區間
是單調函數，求
的取值范圍；
（2）設函數
，是否存在，對任意給定的非零實數
，存在惟一的非零實數
（
），使得
成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
已知函數
，
，其中
．
（1）若
是函數
的極值點，求實數
的值；
（2）若對任意的
（
為自然對數的底數）都有
≥
成立，求實數的取值范圍．
已知函數
，
，其中
．
（1）若
是函數
的極值點，求實數
的值；
（2）若對任意的
（
為自然對數的底數）都有
≥
成立，求實數的取值范圍．
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
C
B
A
D
D
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13~15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前二題得分．第12題第1個空3分，第2個空2分.
9．2
10．79
11．0 或 2 12．16，
13．1 14．3 15．6
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題主要考查三角函數性質和三角函數的基本關系等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力）
解：（1）
．
∵
，
∴函數
的值域為
．
（2）∵
，
，∴
，
．
∵
都為銳角，∴
，
．
∴
．
∴
的值為
．
17．（本小題主要考查空間線面關系、幾何體的表面積與體積等基本知識，考查數形結合的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）
解：（1）設
,∵幾何體
的體積為
，
∴
，
即
，
即
，解得
．
∴
的長為4．
（2）在線段
上存在點
，使直線
與
垂直．
以下給出兩種證明方法：
方法1：過點
作的垂線交
于點
，過點作
交于點．
∵
，
，
，
∴
平面
．
∵
平面，∴
．
∵
，∴平面
．
∵
平面，∴
．
在矩形
中，∵
∽
，
∴
，即
，∴
．
∵
∽
，∴
，即
，∴
．
在
中，∵
，∴
．
由余弦定理，得
．
∴在線段上存在點,使直線與垂直，且線段的長為
．
方法2：以點
為坐標原點，分別以
，
，
所在的直線為
軸，
軸，
軸建立如圖的空間直角坐標系，由已知條件與（1）可知，
，
，
，
假設在線段上存在點
≤≤2，
，0≤≤
使直線與垂直，過點作
交
于點．
由
∽
，得
，
∴
．
∴
．
∴
，
．
∵
，∴
，
即
，∴
．
此時點的坐標為
，在線段上．
∵
，∴
．
∴在線段上存在點，使直線與垂直，且線段的長為．
18．（本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式與前
項和公式等基礎知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）
解：設等比數列
的首項為
，公比為
，
若
，
，
成等差數列，
則
．
∴
．
∵
，
，∴
．
解得
或
．
當時，∵
，
，
，
∴
．
∴當時，
，
，
不成等差數列．
當時，，，成等差數列．下面給出兩種證明方法．
證法1：∵
，
∴
．
∴當時，，，成等差數列．
證法2：∵
，
又
，
∴．
∴當時，，，成等差數列．
19．（本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨立重復試驗等基礎知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）
解：（1）∵一次摸球從
個球中任選兩個，有
種選法，
任何一個球被選出都是等可能的，其中兩球顏色相同有
種選法，
∴一次摸球中獎的概率
．
（2）若
，則一次摸球中獎的概率
，
三次摸球是獨立重復試驗，三次摸球恰有一次中獎的概率是
．
（3）設一次摸球中獎的概率為
，則三次摸球恰有一次中獎的概率為
，
，
∵
，
∴
在
上為增函數，在
上為減函數．
∴當
時，取得最大值．
∵
≥
，
解得
．
故當時，三次摸球恰有一次中獎的概率最大．
20．（本小題主要考查函數的性質、函數與導數等知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力）
（1）解法1：∵
，其定義域為
，
∴
．
∵
是函數
的極值點，∴
，即
．
∵
，∴
．
經檢驗當時，是函數的極值點，
∴．
解法2：∵，其定義域為
，
∴．
令
，即
，整理，得
．
∵
，
∴的兩個實根
（舍去），
，
當變化時，，
的變化情況如下表：
―
0
＋
極小值
依題意，
，即
，
∵，∴．
（2）解：對任意的
都有
≥
成立等價于對任意的都有
≥
．
當
［1，
］時，
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