題目列表(包括答案和解析)
對于函數
，若存在實數
，使
成立，則稱為
的不動點.
（1）當
時，求的不動點；
（2）若對于任何實數
，函數
恒有兩相異的不動點，求實數
的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若
的圖象上
、
兩點的橫坐標是函數的不動點，且直線
是線段
的垂直平分線，求實數
的最小值.
一、選擇題：（每小題5分，共60分）
A C C D D A A B B C C D
注：選擇題第⑺題選自課本43頁第6題．
二、填空題：（每小題4分，共16分）
(13) 
； (14) 
； (15) 
； (16) 6．
三、解答題：（本大題共6小題，共74分）
(17)
解：（Ⅰ）由對數函數的定義域知
．
………………2分
解這個分式不等式，得
．
………………4分
故函數
的定義域為
．
………………5分
（Ⅱ）
，
………………8分
因為
，所以由對數函數的單調性知
．
………………9分
又由（Ⅰ）知，解這個分式不等式，得
． ………………11分
故對于，當
，
………………12分
(18)
解：（Ⅰ）由題意
，
＝１又a＞０，所以a＝１．………………4分
（Ⅱ）
－
＝
，
………………6分
當
時，－＝
，無遞增區間； ………………8分
當x＜１時，－＝
，它的遞增區間是
．……11分
綜上知：－的單調遞增區間是． ……………12分
(19)證明：(Ⅰ) 函數在
上的單調增區間為
．
(證明方法可用定義法或導數法) ……………8分
(Ⅱ) 
，所以
，解得
. ……………12分
(20)
解：（Ⅰ）設投資為
萬元，
產品的利潤為萬元，
產品的利潤為萬元．由題意設
，
．
由圖可知
，
． ………………2分
又
，
．
………………4分
從而
，
．
………………5分（Ⅱ）設產品投入萬元，則產品投入
萬元，設企業利潤為
萬元．
，
………………7分
令
，則
．
當
時，
，此時
．
………………11分
答：當產品投入6萬元，則產品投入4萬元時，該企業獲得最大利潤，利潤為2.8萬元．
………………12分
(21)解：（Ⅰ）
……1分
根據題意，
…………4分
解得
. …………6分
（Ⅱ）因為
…………7分
（i）
時，函數無最大值，
不合題意，舍去. …………9分
（ii）
時，根據題意得
解之得
…………11分
為正整數， 
=3或4. …………12分
(22) 解：
，
（Ⅰ）當
時，
………………2分
設為其不動點，即
則
即的不動點是
. ……………4分
（Ⅱ）由
得：
. 由已知，此方程有相異二實根，
恒成立，即
即
對任意
恒成立.
………………8分（Ⅲ）設
，
直線
是線段AB的垂直平分線， ∴ 
…………10分
記AB的中點
由（Ⅱ）知
……………………12分
化簡得：
（當
時，等號成立）.
即
……………………14分
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