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（2011•江蘇二模）選答題：本大題共四小題，請從這4題中選作2小題，如果多做，則按所做的前兩題記分．每小題10分，共20分，解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
A、選修4-1：
幾何證明選講．如圖，圓O的直徑AB=4，C為圓周上一點，BC=2，過C作圓O的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓O交于點D，E，求∠DAC的度數與線段AE的長．
B、選修4-2：矩陣變換
求圓C：x²+y²=4在矩陣A=[

2 0 0 1

]的變換作用下的曲線方程．
C、選修4-4：坐標系與參數方程
若兩條曲線的極坐標方程分別為ρ=1與ρ=2sinθ，它們相交于A、B兩點，求線段AB的長．
D、選修4-5：不等式選講
已知a、b、c為正數，且滿足acos²θ+bsin²θ＜c．求證：

a

cos²θ+

b

sin²θ＜

c

．

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（2011•南京模擬）A．選修4-1幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D．
求證：ED²=EB•EC．
B．矩陣與變換
已知矩陣A=

2 -1 -4 3

，

4 -1 -3 1

，求滿足AX=B的二階矩陣X．
C．選修4-4 參數方程與極坐標
若兩條曲線的極坐標方程分別為ρ=1與ρ=2cos（θ+

π

3

），它們相交于A，B兩點，求線段AB的長．
D．選修4-5 不等式證明選講設a，b，c為正實數，求證：a³+b³+c³+

1

abc

≥2

3

．

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一、填空題

1．   2．   3．既不充分條件又不必要條件  4．[－4，－π][0，π]

5．   6．6   7．   8．2個   9．等腰直角三角形

10．   11．（-3，4），（-1，2）   12．①、②、⑤  13．

14．C

二、解答題

15．（本小題滿分14分）

解：（1）設由得

    它的解集為（1，3）得方程的兩根為1和3且a<0

    即  ……（1）                      ……3分

     有等根得

             ……（2）                      ……6分

     由(1)(2)及得

故的解析式為                       ……8分

（2）由

及                      ……10分

由                                           ……12分

解得                               ……14分

16．（本小題滿分14分）

解：由得，                    ………………………………2分

又

，                 ……………………………………6分

由得,   …………………………10分

．                               ……14分

17．（本小題滿分15分）．

已知二次函數的二次項系數為，且不等式的解集為．

（1）若方程有兩個相等的根，求的解析式；

（2）若的最大值為正數，求的取值范圍．

解：（1）設由得

    它的解集為（1，3）得方程的兩根為1和3且a<0

    即  ……（1）                      ……3分

     有等根得

             ……（2）                      ……6分

     由(1)(2)及得

故的解析式為                       ……8分

（2）由

及                      ……10分

由                                           ……12分

解得                               ……15分

18解：（1）當m＝2時，A＝（-2，2），B＝（-1，3）∴ AB＝（-1，2）．……5分

（2）當m＜0時，B＝（1+m，1-m）

要使BA，必須，此時-1m<0；                    ……8分

當m＝0時，B＝，BA；適合                               ……10分

當m＞0時，B＝（1-m，m＋1）

要使BA，必須，此時0<m≤1．                     ……13分

∴綜上可知，使BA的實數m的取值范圍為[-1，1]               ……15分

法2  要使BA，必須，此時-1m1；         ……13分

∴使BA的實數m的取值范圍為[-1，1]                         ……15分

18．（本小題滿分15分）

（1）解：由得，

．     ………………2分

設

                        =＜0(討論a＞1和0＜a＜1)，

得f(x)為R上的增函數．                                   ………………5分

（2）由，     …………7分

即得，        ………………9分

得1＜m＜.                                          ………………10分

（3）f(x)在R上為增函數)f(x) 當時)f(x)-4的值恒為負數，  ………13分

而f(x)在R上單調遞增得f(2)-40，                     ………………15分

19．（本小題滿分16分）

解：（1）∵f（x+1）為偶函數，

∴恒成立，

即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0．∴b=－2a．         ………………2分

∴．

∵函數f（x）的圖象與直線y=x相切，

∴二次方程有兩相等實數根，

∴

                         ………………6分

（2）

                     ………………8分

即為方程的兩根

．                                 ………………11分

∵m＜n且．

故當；

當k＞1時，

當k=1時，[m，n]不存在．                              ………………16分

20．（本小題滿分16分）

解：（1）若為_函數f₍x_{)不動點，則有，}

_{整理得          ①}              ………………2分

_{根據題意可判斷方程①有兩個根，且這兩個根互為相反數，得}

>4a  且，<0

所以b=3 ,a>0                                          ………………4分

而 ，所以．

即b=3，a>0，且a≠9.                                   ………………5分

（2）在（1）的條件下，當a=8時，．

由 ，解得_{兩個不動點為，}……6分

_{設點P(x ,y),則y>3 ,即 >3解得x<-3 ．}              ………………8分

_{設點P(x，y)到直線A1A2的距離為d，則}

．                                 ………………10分

當且僅當，即x=―4時，取等號，此時P(―4，4)． ……12分

（3）命題正確．                                              ………………13分

因為_{f(x)定義在R}上的奇函數，所以_f(―0)=―_f(0) ,所以0是奇函數_{f(x)的一個不動點．}

_設c≠0是奇函數_{f(x)的一個不動點,則f(c)=c ,由，所以―c也是f (x)的一個不動點．}

_所以奇函數_{f(x)的非零不動點如果存在,則必成對出現，故}奇函數_{f(x)的不動點數目是奇數個．}                                                    ………………16分