已知函數f(x)=x³-ax-1.

(1)若f(x)在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；

（2）是否存在實數a,使f(x)在（-1，1）上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由；

（3）證明：f(x)=x³-ax-1的圖象不可能總在直線y=a的上方.

已知函數f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數f(x)的圖像上去定點A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當時單調遞減；當時單調遞增，故當時，取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當.　　　　　　　　①

令則

當時，單調遞增；當時，單調遞減.

故當時，取最大值.因此，當且僅當時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當時，單調遞減；當時，單調遞增.故當，即

從而，又

所以因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題，通過構造函數，研究這個函數的性質進行分析判斷.

已知定義在R上的函數是實數．

（Ⅰ）若函數在區間上都是增函數，在區間（－1，3）上是減函數，并且求函數的表達式；

（Ⅱ）若，求證：函數是單調函數．

已知函數（a∈R）．
（1）若函數f（x）在區間[2，+∞）上是單調遞增函數，試求實數a的取值范圍；
（2）當a=2時，求證：（x＞2）；
（3）求證：（n∈N^*且n≥2）．