已知函數(shù)f（x）=2x³-3ax²+a+b（其中a，b為實(shí)常數(shù)）．
（I）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II） 當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：-a＜b＜a³-a；
（III） 若f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，設(shè)關(guān)于X的方程f（x）=2x³-2ax²+3x+a+b的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根為x₁，x₂．試問是否存在實(shí)數(shù)m，使得m²+tm+1≤|x₁-x₂|對任意滿足條件的a及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

設(shè)M是由滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：

       ①議程有實(shí)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足0<<1.

   （I）若，判斷方程的根的個(gè)數(shù)；

   （II）判斷（I）中的函數(shù)是否為集合M的元素；

   （III）對于M中的任意函數(shù)，設(shè)x₁是方程的實(shí)根，求證：對于定義域中任意的x₂，x₃，當(dāng)| x₂－x₁|<1，且| x₃－x₁|<1時(shí)，有