題目列表(包括答案和解析)
（）中學數學中存在許多關系，比如“相等關系”、“平行關系”等等.如果集合A中元素之間的一個關系“-”滿足以下三個條件：
（1）自反性：對于任意a∈A,都有a-a;
(2)對稱性：對于a,b∈A，若a-b,則有b-a;
(3)傳遞性：對于a,b,c∈A,若a-b,b-c,則有a-c.
則稱“-”是集合A的一個等價關系.例如：“數的相等”是等價關系，而“直線的平行”不是等價關系（自反性不成立）.請你再列出兩個等價關系： .
（Ⅰ）已知函數
,若存在
，使得
,則稱是函數的一個不動點，設二次函數
.
(Ⅰ) 當
時，求函數
的不動點；
(Ⅱ) 若對于任意實數
，函數恒有兩個不同的不動點，求實數
的取值范圍；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，若函數的圖象上
兩點的橫坐標是函數的不動點，且直線
是線段
的垂直平分線，求實數
的取值范圍.
（Ⅰ）已知函數
,若存在
，使得
,則稱是函數的一個不動點，設二次函數
.
(Ⅰ) 當
時，求函數
的不動點；
(Ⅱ) 若對于任意實數
，函數恒有兩個不同的不動點，求實數
的取值范圍；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，若函數的圖象上
兩點的橫坐標是函數的不動點，且直線
是線段
的垂直平分線，求實數
的取值范圍.
,若存在
，使得
,則稱是函數的一個不動點，設二次函數
. 
時，求函數
的不動點；
，函數恒有兩個不同的不動點，求實數
的取值范圍；的圖象上
兩點的橫坐標是函數的不動點，且直線
是線段
的垂直平分線，求實數
的取值范圍.若函數
對任意的
，均有
，則稱函數具有性質
.
（Ⅰ）判斷下面兩個函數是否具有性質，并說明理由.
①
； ②
.
（Ⅱ）若函數具有性質，且
（
），
求證：對任意
有
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否對任意
均有
.若成立給出證明，若不成立給出反例.
一、選擇題：
1. 答案：C. 
｛x | x≥0｝,故選C.
2.C
3. （理）對于
中，當n＝６時，有
所以第２５項是７．選C.
4.D
5.Ａ． ∵
＝
，
∴根據題意作出函數圖象即得．選A．
6. 答案：Ｄ．當x=1時，y＝m ,由圖形易知m<0, 又函數是減函數，所以0<n<1,故選Ｄ．
7.A
8.C
二、填空題：
9.810
10．答案：
．
11. 答案：
.
12.
13. （2）、（3）
14.
15．（本題滿分
分）
已知
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值．
解：（Ⅰ）由
, 
，
………………………2分
．
…………………5分
（Ⅱ） 原式＝ 
…………………10分
．
…………………12分
16．（本題滿分
分）
在一個盒子中，放有標號分別為
，
，
的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為
、
，記
．
（Ⅰ）求隨機變量
的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求隨機變量的分布列和數學期望．
解：（Ⅰ）
、可能的取值為、、，
，
，
，且當
或
時，
．
……………3分
因此，隨機變量的最大值為．
有放回抽兩張卡片的所有情況有
種，
．
答：隨機變量的最大值為
，事件“取得最大值”的概率為
． ………5分
（Ⅱ）的所有取值為
．
時，只有
這一種情況，
時，有
或
或
或
四種情況，
時，有
或
兩種情況．
，
，
．
…………11分
則隨機變量的分布列為：
因此，數學期望
． ……………………13分
17．（本題滿分分）
如圖，已知正三棱柱
―
的底面邊長是，
是側棱
的中點，直線
與側面
所成的角為
．
（Ⅰ）求此正三棱柱的側棱長；（Ⅱ） 求二面角
的大小；
（Ⅲ）求點
到平面
的距離．
解：（Ⅰ）設正三棱柱―的側棱長為．取
中點
，連
．
是正三角形，
．
又底面
側面，且交線為．
側面．
連
，則直線與側面所成的角為
． ……………2分
在
中，
，解得
． …………3分
此正三棱柱的側棱長為
．
……………………4分
注：也可用向量法求側棱長．
（Ⅱ）解法1：過作
于
，連
，
側面
．
為二面角的平面角．
……………………………6分
在
中，
，又
， 
．
又
在
中，
．
…………………………8分
故二面角的大小為
．
…………………………9分
解法2：（向量法，見后）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，
平面
,平面
平面
，且交線為，過作
于
，則
平面．
…………10分
在中，
．
…………12分
為中點，點到平面的距離為
． …………13分
解法2：（思路）取
中點
，連
和
，由
，易得平面
平面
，且交線為．過點作
于
，則
的長為點到平面的距離．
解法3：（思路）等體積變換:由
可求．
解法4：（向量法，見后）
題（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（Ⅱ）解法2：如圖，建立空間直角坐標系
．
則
．
設
為平面的法向量．
由
得
．
取
…………6分
又平面
的一個法向量
…………7分
． …………8分
結合圖形可知，二面角的大小為
．
…………9分
（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，
…………10分
點到平面的距離
＝
．13分
18． （本小題滿分14分）
一束光線從點
出發，經直線
上一點反射后，恰好穿過點
．
（Ⅰ）求點
關于直線
的對稱點
的坐標；
（Ⅱ）求以、
為焦點且過點的橢圓的方程；
（Ⅲ）設直線與橢圓的兩條準線分別交于
、
兩點，點
為線段上的動點，求點 到的距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點的坐標．
解：（Ⅰ）設的坐標為
，則
且
．……2分
解得
， 因此，點 的坐標為
． …………………4分
（Ⅱ）
，根據橢圓定義，
得
，……………5分
，
．
∴所求橢圓方程為
．
………………………………7分
（Ⅲ）
，橢圓的準線方程為
． …………………………8分
設點的坐標為
,
表示點到的距離，
表示點到橢圓的右準線的距離．
則
，
．
，
……………………………10分
令
，則
，
當
，
，
，
．
∴ 
在時取得最小值．
………………………………13分
因此，
最小值＝
，此時點的坐標為
．…………14分
注：的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得．
說明：求得的點即為切點，的最小值即為橢圓的離心率．
19．（本題滿分
分）
已知數列
滿足：
且
，
．
（Ⅰ）求
，
，
，
的值及數列的通項公式；
（Ⅱ）設
，求數列
的前
項和
；
解：（Ⅰ）經計算
，
，
，
．
當為奇數時，
，即數列的奇數項成等差數列，
；
當為偶數，
，即數列的偶數項成等比數列，
．
因此，數列的通項公式為
．
（Ⅱ）
，
……（1）
…（2）
（1）、（2）兩式相減，
得
．
．
20．（本題滿分分）
已知函數
和點
，過點作曲線
的兩條切線
、
，切點分別為
、
．
（Ⅰ）設
，試求函數
的表達式；
（Ⅱ）是否存在
，使得、與
三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數，在區間
內總存在
個實數
，
，使得不等式
成立，求
的最大值．
解：（Ⅰ）設、兩點的橫坐標分別為
、
，
， 切線的方程為：
，
又切線過點
， 有
，
即
， ………………………………………………（1） …… 2分
同理，由切線也過點，得
．…………（2）
由（1）、（2），可得
是方程
的兩根，
………………（ * ）
……………………… 4分
，
把（ * ）式代入,得
,
因此，函數的表達式為
． ……………………5分
（Ⅱ）當點、與共線時，
，
＝
，
即
＝
，化簡，得
，
，
． ………………（3） …………… 7分
把（*）式代入（3），解得
．
存在，使得點、與三點共線，且 ． ……………………9分
（Ⅲ）解法：易知在區間
上為增函數，
，
則
．
依題意，不等式
對一切的正整數恒成立， …………11分
，
即
對一切的正整數
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