題目列表(包括答案和解析)
已知直線
某學生做如下變形，由直線與雙曲線聯立消y得形如
的方程，當A=0時該方程有一解；當A≠0時，
恒成立，若該生計算過程正確，則實數m的取值范圍是 .
如圖，直線
與拋物線
交于
兩點，與
軸相交于點
，且
.
（1）求證：點的坐標為
；
（2）求證：
；
（3）求
的面積的最小值.
【解析】設出點M的坐標
，并把過點M的方程設出來.為避免對斜率不存在的情況進行討論，可以設其方程為
,然后與拋物線方程聯立消x，根據,即可建立關于
的方程.求出的值.
（2）在第（1）問的基礎上，證明：
即可.
（3）先建立面積S關于m的函數關系式，根據
建立即可，然后再考慮利用函數求最值的方法求最值.
在△ABC中，內角A、B、C所對邊的邊長分別是a、b、c，已知c=2，C=
.
(Ⅰ)若△ABC的面積等于
，求a、b;
(Ⅱ)若
,求△ABC的面積.
【解析】第一問中利用余弦定理及已知條件得
又因為△ABC的面積等于，所以
，得
聯立方程，解方程組得
.
第二問中。由于即為即
.
當
時，
, 
, 
,
所以
當
時，得
，由正弦定理得
，聯立方程組，解得
,得到。
解：（Ⅰ） （Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，………1分
又因為△ABC的面積等于，所以，得，………1分
聯立方程，解方程組得.
……………2分
（Ⅱ）由題意得
，
即.
…………2分
當時，
, , ,
……1分
所以 ………………1分
當時，得，由正弦定理得，聯立方程組
，解得,
;
所以
過拋物線
的對稱軸上的定點
，作直線
與拋物線相交于
兩點．
（I）試證明兩點的縱坐標之積為定值；
（II）若點
是定直線
上的任一點，試探索三條直線
的斜率之間的關系，并給出證明.
【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關系以及發現問題和解決問題的能力．
（1）中證明：設
下證之：設直線AB的方程為: x=ty+m與y2=2px聯立得消去x得y2=2pty-2pm=0，由韋達定理得
(2)中：因為三條直線AN,MN,BN的斜率成等差數列，下證之
設點N（-m,n），則直線AN的斜率KAN=
，直線BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本題主要考查拋物線與直線的位置關系以及發現問題和解決問題的能力．
活動：學生審題,思考并交流,探討解題的思路,教師及時提示引導,因兩圓的交點坐標同時滿足兩個圓方程,聯立方程組,消去x2項、y2項,即得兩圓的兩個交點所在的直線方程,利用勾股定理可求出兩圓公共弦長.
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