題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分8分，第3小題滿分7分．
已知拋物線
（
且
為常數），
為其焦點．
（1）寫出焦點的坐標；
（2）過點的直線與拋物線相交于
兩點，且
，求直線
的斜率；
（3）若線段
是過拋物線焦點的兩條動弦，且滿足
，如圖所示．求四邊形
面積的最小值
．
已知拋物線
（
且
為常數），
為其焦點．
（1）寫出焦點的坐標；
（2）過點的直線與拋物線相交于
兩點，且
，求直線
的斜率；
（3）若線段
是過拋物線焦點的兩條動弦，且滿足
，如圖所示．求四邊形
面積的最小值
．
某校同學設計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區域）”，其中
、
是過拋物線
焦點
的兩條弦，且其焦點
，
，點
為
軸上一點，記
，其中
為銳角．
(1)求拋物線方程；
(2)求證：
．
我校某同學設計了一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區域）”來慶祝數學學科節的成功舉辦.其中
、
是過拋物線
焦點
的兩條弦，且其焦點
，
，點
為
軸上一點，記
，其中
為銳角．
（1）求拋物線方程；
（2）當“蝴蝶形圖案”的面積最小時求
的大小.
已知
是過拋物線
焦點的弦，
，則中點的橫坐標是
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
C
B
B
A
B
C
D
C
D
二、填空題
13．2 14．
15．60 16．③④
三、解答題
17．解：（1）
，
（2分）
又
（4分）
. （6分）
（2）
（8分）
（10分）
18．（1）證明：連結
交
于點
，取
的中點
，連結
，則// 
且
依題意，知
且
，
，且
，
故四邊形
是平行四邊形，
，即
（4分）
又
平面
，
平面， （6分）
（2）延長
交
的延長線于
點，連結
，作
于
點，連結
．
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面，
∴
平面
，
由三垂線定理，知
，故
就是所求二面角的平面角．（8分）
∵平面平面，平面平面
平面，故
就是直線與平面成的角， （10分）
知
設
，則
．
在
中：
在
中：由
，
，知
故平面與平面所成的銳二面角的大小為45°． （12分）
19．解：（1）記
表示事無償援助，“取出的2伯產呂中無二等品”，
表示事件“取出的2件產品中恰有1件是二等品”。則、互斥，且
故
依題意，知
又
，得
（6分）
（2）若該批產品有100件，由（1）知，其中共有二等品100×0．2=20件
記
表示事件“取出的2件產品中無二等品”，則事件
與事件互斥，
依題意，知
故
（12分）
20．解：（1）
在
上單調遞增，
上單調遞減，
有兩根，2，
（6分）
（2）令
則
因為
在
上恒大于0，
所以
，在上單調遞增，故
（12分）
21．（1）依題意，知
由
，得
故
，得
4分
（2）依題意，知
由
，得
即
，得
8分
（3）由
、
是相互垂直的單位向量，
知，
得
記數列
的前
項和為
，
則有
相減得，
故
12分
22．解：（1）設
依題意得
（2分）
消去
，
，整理得
． （4分）
當
時，方程表示焦點在
軸上的橢圓；
當
時，方程表示焦點在
軸上的橢圓；
當
時，方程表示圓． （6分）
（2）當
時，方程為
設直線
的方程為
（8分）
消去得
（10分）
根據已知可得
，故有
直線的斜率為
（12分）
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