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如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為,AE、DF是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于.

（1）求證：；

（2）若四邊形ABCD是正方形，求證；

（3）在（2）的條件下，求二面角A-BC-E的平面角的一個三角函數值。

【解析】第一問中，利用由圓柱的性質知：AD平行平面ＢＣＦＥ

又過作圓柱的截面交下底面于.∥ 

又AE、DF是圓柱的兩條母線

∥ＤＦ，且ＡＥ＝ＤＦ　　　　　ＡＤ∥ＥＦ

第二問中，由線面垂直得到線線垂直。四邊形ABCD是正方形　　又

BC、AE是平面ABE內兩條相交直線

第三問中，設正方形ABCD的邊長為x,則在

在 

由（2）可知：為二面角A-BC-E的平面角，所以

證明：（1）由圓柱的性質知：AD平行平面ＢＣＦＥ

又過作圓柱的截面交下底面于.∥ 

又AE、DF是圓柱的兩條母線

∥ＤＦ，且ＡＥ＝ＤＦ　　　　　ＡＤ∥ＥＦ 

(2) 四邊形ABCD是正方形　　又

BC、AE是平面ABE內兩條相交直線

(3)設正方形ABCD的邊長為x,則在

在 

由（2）可知：為二面角A-BC-E的平面角，所以

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，構成一個三棱錐．

（I）判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；

（II）求多面體E-AFMN的體積．

【解析】第一問因翻折后B、C、D重合（如下圖），所以MN應是的一條中位線，則利用線線平行得到線面平行。

第二問因為平面BEF，……………8分

且，

∴，又　∴

（1）因翻折后B、C、D重合（如圖），

所以MN應是的一條中位線，………………3分

則．………6分

（2）因為平面BEF，……………8分

且，

∴，………………………………………10分

又　∴

如圖，邊長為2的正方形ABCD，E是BC的中點，沿AE，DE將折起，使得B與C重合于O．

（Ⅰ）設Q為AE的中點，證明：QDAO；

（Ⅱ）求二面角O—AE—D的余弦值．

【解析】第一問中，利用線線垂直，得到線面垂直，然后利用性質定理得到線線垂直。取AO中點M，連接MQ，DM，由題意可得：AOEO, DOEO，

AO=DO=2．AODM

因為Q為AE的中點，所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

第二問中，作MNAE,垂足為N，連接DN

因為AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM

，因為AODM ，DM平面AOE

因為MNAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=

（1）取AO中點M，連接MQ，DM，由題意可得：AOEO, DOEO，

AO=DO=2．AODM

因為Q為AE的中點，所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

（2）作MNAE,垂足為N，連接DN

因為AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM

，因為AODM ，DM平面AOE

因為MNAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=

二面角O-AE-D的平面角的余弦值為