題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
。
（1）證明：
（2）若數(shù)列
的通項公式為
，求數(shù)列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數(shù)列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數(shù)
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區(qū)間
上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數(shù)，
（1）討論
時, 
的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數(shù)
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數(shù)列
的前
項和為
，對任意的正整數(shù)，都有
成立，記
。
（I）求數(shù)列
的通項公式；
（II）記
，設數(shù)列
的前項和為
，求證：對任意正整數(shù)都有
；
（III）設數(shù)列的前項和為
。已知正實數(shù)
滿足：對任意正整數(shù)
恒成立，求的最小值。
一、選擇題：本小題共8小題，每小題5分，共40分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
B
D
B
B
C
二、填空題：本小題9―12題必答，13、14、15小題中選答2題，若全答只計前兩題得分，共30分.
9．生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image246.gif)
, f(x)＜m； 10．90 ； 11．3 ；12．生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image248.gif)
；
13．垂直； 14．生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image250.gif)
； 15．生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image252.gif)
。
解答提示：
2．解：設等軸雙曲線為x2－y2=a2（a>0），
∵焦點到漸近線距離為生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image035.gif)
，∴a=。
3．解：∵生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image046.gif)
， ∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image254.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image256.gif)
，∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image258.gif)
，∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image260.gif)
．
4．解：只有命題②正確。
5．解：有２男２女和三男一女兩種情況，
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image262.gif)
＝生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image264.gif)
2400種．
6．解：生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image266.gif)
，∴r=3，9時，該項為有理項
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image268.gif)
，∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image270.gif)
。
7．解：由正弦定理得生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image272.gif)
，
由余弦定理有生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image274.gif)
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image092.gif)
。
8．解：
可行域:生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image275.gif)
的面積為4，圓x2+y2=1的面積為生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image277.gif)
,
由幾何概型計算公式得：P=生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image104.gif)
。
10．平均每月注射了疫苗的雞的數(shù)量為生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image279.gif)
萬只。
11．解：生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image281.gif)
，生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image117.gif)
=3。
12．解：∵生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image283.gif)
，
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image285.gif)
，
又生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image287.gif)
，
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image289.gif)
，夾角等于。
13．解：垂直。兩直線分別過點生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image291.gif)
和生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image293.gif)
，前兩點和后兩點連線顯然垂直。
法二：兩直線化為普通方程是生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image295.gif)
其斜率乘積生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image297.gif)
，故兩直線垂直。
14．解：生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image299.gif)
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image301.gif)
,應有生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image303.gif)
15．解：由圓的相交弦定理知生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image305.gif)
，
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image307.gif)
，
由圓的切割線定理知生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image309.gif)
，
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image311.gif)
。
三、解答題：
16．解：（1）生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image313.gif)
，
……………3分
f(x)生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image315.gif)
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image317.gif)
。
………6分
（2）由（1）知生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image319.gif)
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image321.gif)
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image323.gif)
， …… 9分
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image158.gif)
的圖像向右平移生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image326.gif)
個單位，得到生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image328.gif)
的圖像，
其圖像關于原點對稱， …………… 11分
故m= 。
……………12分
17．解：（1）生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image330.gif)
，
又生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image332.gif)
， ………………………………………………2分
又生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image334.gif)
的等比中項為2，生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image336.gif)
，
而生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image338.gif)
， ………………………………4分
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image340.gif)
， ……………………………6分
（2）生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image342.gif)
， 生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image344.gif)
，
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image346.gif)
為首項，－1為公差的等差數(shù)列。
………………………9分
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image348.gif)
，
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image350.gif)
；當生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image352.gif)
；當生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image354.gif)
，
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image356.gif)
最大。 …………………………12分
18．解：（1）這位挑戰(zhàn)者有兩種情況能過關：
①第三個對，前兩個一對一錯，得20+10+0=30分， ……… ………1分
②三個題目均答對，得10+10+20=40分， ……… ………2分
其概率分別為生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image358.gif)
，
……… ………3分
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image360.gif)
，
……… ………4分
這位挑戰(zhàn)者過關的概率為
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image362.gif)
。 ………
………5分
(2)如果三個題目均答錯，得0+0+（-10）=-10分，
如果前兩個中一對一錯，第三個錯，得10+0+（-10）=0分； …… ………6分
前兩個錯，第三個對，得0+0+20=20分；
如果前兩個對，第三個錯，得10+10+（-10）=10分； ……… ………7分
故生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image176.gif)
的可能取值為：-10，0，10，20，30，40.
………….8分
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image364.gif)
，
………
………9分
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image366.gif)
………………10分
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image368.gif)
……… ………11分
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image370.gif)
……… ………12分
又由（1），生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image372.gif)
， 生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image374.gif)
∴的概率分布為
-10
0
10
20
30
40
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image376.gif)
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image378.gif)
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image380.gif)
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image382.gif)
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image384.gif)
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image386.gif)
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image388.gif)
………………13分
根據(jù)的概率分布，可得的期望，
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image390.gif)
………14分
19．解：（1）生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image392.gif)
，∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image394.gif)
, ∴
∵直線l:生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image182.gif)
與圓x2+y2=b2相切，
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image396.gif)
=b，∴b=生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image398.gif)
，b2=2， …….3分
∴a2=3. ∴橢圓C1的方程是生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image400.gif)
…………. 4分
（2）∵|MP|＝|MF2|，
∴動點M到定直線l1：x＝－1的距離等于它的定點F2（1，0）的距離. …5分
∴動點M的軌跡是以l1為準線，F(xiàn)2為焦點的拋物線， ………….6分
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image402.gif)
，p=2 ，
………….7分
∴點M的軌跡C2的方程為生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image404.gif)
。
.………….8分
（3）由（1）知A（1，2），生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image406.gif)
，y2≠2，①
則生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image408.gif)
，
………….10分
又因為生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image410.gif)
, 生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image412.gif)
，
整理得生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image414.gif)
，
………….12分
則此方程有解，
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image416.gif)
解得生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image418.gif)
或生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image420.gif)
，
………….13分
又檢驗條件①：∵y2=2時y0=-6,不符合題意。
∴點C的縱坐標y0的取值范圍是生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image422.gif)
………….14分
20．解法一：（向量法）：
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image423.gif)
過點生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image425.gif)
作生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image427.gif)
∵生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image135.gif)
⊥平面生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image205.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image429.gif)
⊥平面
又在生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image198.gif)
中，生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image200.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image431.gif)
如圖，以為原點，建立空間直角坐標系生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image434.gif)
．
………….1分
又在中，，
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image202.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image437.gif)
又在生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image439.gif)
中，生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image207.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image441.gif)
則生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image443.gif)
………….3分
（1）證明：∵
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image445.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image447.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image449.gif)
又生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image451.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image137.gif)
⊥平面生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image223.gif)
………….6分
又在生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image454.gif)
中，生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image209.gif)
、生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image211.gif)
分別是生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image213.gif)
、生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image215.gif)
上的動點，
且生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image217.gif)
∴不論生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image219.gif)
為何值，都有生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image456.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image458.gif)
⊥平面
又生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image460.gif)
平面生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image221.gif)
不論為何值，總有平面⊥平面
………….8分
（2）∵生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image462.gif)
，∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image464.gif)
,
∵生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image466.gif)
，∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image468.gif)
，
又∵生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image470.gif)
，生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image472.gif)
，
設生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image474.gif)
是平面的法向量，則生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image476.gif)
.………….10分
又，生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image478.gif)
,∵生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image480.gif)
=(0,1,0),
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image482.gif)
令生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image484.gif)
得生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image486.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image488.gif)
，
………….12分
∵ 生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image490.gif)
是平面的法向量，平面與平面所成的二面角為生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image492.gif)
，
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image494.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image496.gif)
，
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image498.gif)
或生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image500.gif)
（不合題意，舍去），
故當平面與平面所成的二面角的大小為生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image226.gif)
時．…….14分
（2）解法二：∵，∴ ,
設E（a,b,c）,則生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image502.gif)
，
∴a=1+,b=0,c=生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image504.gif)
， E（1+,0, ）,
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image507.gif)
)。
其余同解法一
（2）解法三：設是平面的法向量，則生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image509.gif)
，
∵
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image511.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image513.gif)
又在中，，
∴
又在中，
∴
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image515.gif)
又生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image517.gif)
，且生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image519.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image521.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image523.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image525.gif)
又生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image527.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image529.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image531.gif)
……………10分
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image533.gif)
令得
∴
…………12分
其余同解法一
解法四：（傳統(tǒng)法）：
（1）證明：∵⊥平面
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image535.gif)
………….1分
又在中，
∴
………….2分
又
∴⊥平面
………….3分
又在中，、分別是、上的動點，
且生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image538.gif)
∴
………….4分
∴⊥平面
………….5分
又平面
∴不論為何值，總有平面⊥平面．
………….6分
（2）解：作BQ∥CD，則BQ⊥平面，
∴BQ⊥BC，BQ⊥BE，
又BQ與CD、EF共面，∴平面與∩平面＝BQ，
∴∠CBE平面與平面所成的二面角的平面角，為，∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image541.gif)
生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image542.gif)
∴生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image544.gif)
① ………….9分
又生學業(yè)水平考試理科數(shù)學.files/image546.gif)
∴
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