題目列表(包括答案和解析)
已知
．
（１）求
的單調區間；
（２）證明：當
時，
恒成立；
（３）任取兩個不相等的正數
，且
，若存在
使
成立，證明：
．
【解析】（1）g(x)=lnx+
，
=
（1’）
當k
0時，>0，所以函數g(x)的增區間為（0，+
），無減區間；
當k>0時，
>0,得x>k；
<0，得0<x<k∴增區間（k,+）減區間為（0，k）（3’）
(2)設h(x)=xlnx-2x+e(x
1)令
= lnx-1=0得x=e, 當x變化時，h(x),
的變化情況如表
|
x |
1 |
(1,e) |
e |
(e,+ |
|
|
|
－ |
0 |
+ |
|
h(x) |
e－2 |
|
0 |
↗ |
所以h(x)0, ∴f(x)2x-e
（5’）
設G(x)=lnx-
(x1) 
=
=
0,當且僅當x=1時,=0所以G(x) 為減函數, 所以G(x) G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx
(x1)成立,所以f(x) 
,綜上,當x1時, 2x-ef(x)
恒成立.
(3) ∵
=lnx+1∴lnx0+1=
=
∴lnx0=
-1
∴lnx0 –lnx
=
-1–lnx=
=
=
(10’) 設H(t)=lnt+1-t(0<t<1),
=
=
>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數,并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t)
<H(1)=0∵
∴
=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x
（12分）已知函數
，曲線
過點P（－1，2），且在點P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直。
①求a，b的值；
②求該函數的單調區間和極值。
③若函數在
上是增函數，求m的取值范圍.
（12分）已知函數
，曲線
過點P（－1，2），且在點P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直。
①求a，b的值；
②求該函數的單調區間和極值。
③若函數在
上是增函數，求m的取值范圍.
，曲線
過點P（－1，2），且在點P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直。
上是增函數，求m的取值范圍.設f（x）是定義在[0，1]上的函數，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0， x*]上單調遞增，在[x*，1]上單調遞減，則稱f（x）為[0，1]上的單峰函數，x*為峰點，包含峰點的區間為含峰區間．對任意的[0，l]上的單峰函數f（x），下面研究縮短其含峰區間長度的方法.
（1）證明：對任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），則（0，x2）為含峰區間；若f（x1）≤f（x2），則（x*，1）為含峰區間；
（2）對給定的r（0＜r＜0.5＝，證明：存在x1，x2∈（0，1），滿足x2－x1≥2r，使得由
（I）所確定的含峰區間的長度不大于0.5＋r；
（3）選取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，由（I）可確定含峰區間為（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰區間內選取x3，由x3與x1或x3與x2類似地可確定一個新的含峰區間．在第一次確定的含峰區間為（0，x2）的情況下，試確定x1，x2，x3的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02，且使得新的含峰區間的長度縮短到0.34.（區間長度等于區間的右端點與左端點之差）
說明：
一、本解答給出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則。
二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后續部分的給分，但不得超過該部分正確解答所給分數的一半；如果后續部分的解答存在較嚴重的錯誤，則不再給分。
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。
四、每題只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。
一、選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
D
A
A
B
C
B
D
二、填空題：
11．40.6,1.1 12．
13．
14．30 15． 
16．（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）
三、解答題：
17．（Ⅰ）
， ①
…………………2分
又
， ∴
②
……………… 4分
由①、②得
…………………………………………………………… 6分
（Ⅱ）
……………………………………… 8分
…………………………………………………………………… 10分
…………………………………………………………………………12分
18．（Ⅰ）設點
，則
，
，
，又
，
，∴橢圓的方程為：
…………………………………………7分
（Ⅱ）當過
直線
的斜率不存在時，點
，則
；
當過直線的斜率存在時，設斜率為
，則直線的方程為
，
設
，由
得：
…………………………………………10分
……13分
綜合以上情形，得：
……………………………………………………14分
↘
面EFG，PB
平面EFG，
，
，又GM=
，………………7分
………………8分
，
………………………………9分
，則
，
…………………………13分
故存在點Q，當CQ=
時，點A到平面EFQ的距離為0.8. ……………………… 14分
…………1分
， 即
，
……………3分
，∴PB∥平面EFG. ………………………………………………………… 4分
,
…………………………………………5分
，
……………………… 8分
……………………………………10分
， 設平面EFQ的法向量為
，則
， ……………………………………………………12分
， ∴點A到平面EFQ的距離
，……13分
，
不合題意，舍去.
，
………………2分
時，
， …………4分
是單調增函數； ………………6分
是單調減函數； ………………8分
是偶函數，對任意
都有
成立
對任意
或
時，
是定義域上的單調函數，
時，對任意
時，
，由
上是單調增函數
在上是單調減函數，∴對任意
時，對任意
時，對任意
}的公差是
，則
，解得
……………………………………2分
=－1＜0
適合條件①；又
，所以當
=4或5時，
取得最大值20，即
…………………………………………4分
，所以當n≥3時，
，此時數列
單調遞減；當
，即
，所以
≥7………………………………………………………8分
成立，
的各項均為正整數，可得
……………10分
……11分
…13分
……………………………………………15分
，總有
，故有
，這與數列（
）的各項均為正整數矛盾！
,都有
成立. ………………………16分