題目列表(包括答案和解析)
=
( )
A.
2 B.
4i C.
4 D.
[ ]
A.2 B.3 C.4 D.5
| A、充分不必要條件 | B、必要不充分條件 | C、充要條件 | D、既不充分也不必要條件 |
一、選擇題：ADBAA BCCDB
二、填空題
11.2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image216.gif)
; 12． 2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image218.gif)
;
13． 2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image220.gif)
14．（2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image102.gif)
）③⑤ （2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image104.gif)
）②⑤
15． （）2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image222.gif)
； （） 0
三、解答題：
16．解：（1）2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image224.gif)
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image226.gif)
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image228.gif)
…………5分
由2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image128.gif)
成等比數(shù)列，知2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image230.gif)
不是最大邊
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image232.gif)
…………6分
（2）由余弦定理2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image234.gif)
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image236.gif)
得ac=2 …………11分
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image238.gif)
=2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image240.gif)
…………12分
17.解：（Ⅰ）2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image242.gif)
．
（Ⅱ）2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image244.gif)
．
1當(dāng)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image246.gif)
時，則2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image248.gif)
．此時輪船2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image030.gif)
更安全．
2當(dāng)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image251.gif)
時，則2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image253.gif)
．此時輪船和輪船2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image036.gif)
一樣安全．
3當(dāng)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image256.gif)
時，則2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image258.gif)
．此時輪船更安全．
解：方法一
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image261.gif)
（Ⅰ）取2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image263.gif)
的中點(diǎn)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image265.gif)
，連結(jié)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image267.gif)
，由2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image269.gif)
知2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image271.gif)
，又2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image273.gif)
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image275.gif)
，故2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image277.gif)
，所以2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image279.gif)
即為二面角2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image167.gif)
的平面角.
在△2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image282.gif)
中，2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image284.gif)
，2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image286.gif)
，2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image288.gif)
，
由余弦定理有
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image290.gif)
，
所以二面角的大小是2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image292.gif)
.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image294.gif)
平面，故平面2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image296.gif)
平面，故在平面2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image299.gif)
上的射影一定在直線上，所以點(diǎn)到平面2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image170.gif)
的距離即為△的邊上的高.
故2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image301.gif)
.
…（12分）
19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為
∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image172.jpg)
∴2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image303.gif)
x?AEsin60°＝?2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image305.gif)
（
解得AE＝2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image307.gif)
，?
在△ADE中，由余弦定理:?
y2＝x2＋2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image309.gif)
?cos60°，?
∴y2＝x2＋2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image312.gif)
－
∴y＝2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image314.gif)
(a≤x≤
（Ⅱ）證明:∵y＝ (a≤x≤
且y＝2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image316.gif)
，設(shè)f（t）＝t＋2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image318.gif)
（a2≤t≤
當(dāng)t∈（a2，
f（t1）－f（t2）＝（t1＋2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image320.gif)
）－（t2＋2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image322.gif)
）
＝（t1－t2）?2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image324.gif)
，?
∵a2＜t1＜t2＜
∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－
∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
∴f（x）在（a2，
同理可得，f（x）在（
又∵f（2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image326.gif)
a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當(dāng)t＝a2或2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image328.gif)
a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image329.gif)
20.解：（Ⅰ）∵2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image331.gif)
，∴2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image333.gif)
，
又∵2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image335.gif)
，∴2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image337.gif)
，
∴2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image339.gif)
，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image341.gif)
．
………（3分）
當(dāng)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image343.gif)
的斜率為0時，顯然2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image345.gif)
=0，滿足題意，
當(dāng)的斜率不為0時，設(shè)方程為2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image347.gif)
，
代入橢圓方程整理得：2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image349.gif)
．
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image351.gif)
，2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image353.gif)
，2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image355.gif)
．
則2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image357.gif)
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image359.gif)
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image361.gif)
，
而2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image363.gif)
∴2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image365.gif)
，從而．
綜合可知：對于任意的割線2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image190.gif)
，恒有．
………（8分）
（Ⅱ）2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image370.gif)
，
即：2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image372.gif)
，
當(dāng)且僅當(dāng)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image374.gif)
，即2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image376.gif)
（此時適合于2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image378.gif)
的條件）取到等號．
∴三角形△ABF面積的最大值是2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image380.gif)
． ………………………………（13分）
21.解：（Ⅰ）由2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image382.gif)
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image384.gif)
故x>0或x≤－1
f(x)定義域?yàn)?sub>2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image386.gif)
…………………………（4分）
（Ⅱ）2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image388.gif)
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image390.gif)
下面使用數(shù)學(xué)歸納法證明：2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image392.gif)
①在n=1時，a1=1，<a1<2，則n=1時（*）式成立.
②假設(shè)n=k時2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image395.gif)
成立，
由2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image397.gif)
要證明：2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image399.gif)
只需2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image401.gif)
只需(2k+1)3≤8k(k+1)2
只需1≤4k2+2k
而4k2+2k≥1在k≥1時恒成立.
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image403.gif)
只需證：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1時恒成立.
于是：2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image405.gif)
因此2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image407.gif)
得證.
綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立. ………………9分
（Ⅲ）要證明：2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image409.gif)
由（2）可知只需證：
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image411.gif)
…………（**）
下面用分析法證明：（**）式成立。
要使（**）成立，只需證：2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image413.gif)
即只需證：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)
只需證：2n>1
而2n>1在n≥1時顯然成立.故（**）式得證：
于是由（**）式可知有：
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image415.gif)
因此有：2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image417.gif)
2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷.files/image419.gif)
……………………………………（13分）
雅禮中學(xué)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案
一、選擇題：ADBAA BCCDB
二、填空題
11.; 12． ;
13．
14．（）③⑤ （）②⑤
15． （）； （） 0
三、解答題：
16．解：（1）
…………5分
由成等比數(shù)列，知不是最大邊
…………6分
（2）由余弦定理
得ac=2 …………11分
= …………12分
17.解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
1當(dāng)時，則．此時輪船更安全．
2當(dāng)時，則．此時輪船和輪船一樣安全．
3當(dāng)時，則．此時輪船更安全．
解：方法一
（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.
在△中，，，，
由余弦定理有
，
所以二面角的大小是.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點(diǎn)到平面的距離即為△的邊上的高.
故.
…（12分）
19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為
∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
∴x?AEsin60°＝?（
解得AE＝，?
在△ADE中，由余弦定理:?
y2＝x2＋?cos60°，?
∴y2＝x2＋－
∴y＝ (a≤x≤
（Ⅱ）證明:∵y＝ (a≤x≤
且y＝，設(shè)f（t）＝t＋（a2≤t≤
當(dāng)t∈（a2，
f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）
＝（t1－t2）?，?
∵a2＜t1＜t2＜
∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－
∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
∴f（x）在（a2，
同理可得，f（x）在（
又∵f（a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當(dāng)t＝a2或a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?
20.解：（Ⅰ）∵，∴，
又∵，∴，
∴，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
………（3分）
當(dāng)的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，
當(dāng)的斜率不為0時，設(shè)
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