題目列表(包括答案和解析)
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）證明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.
【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), 
,P（0,0,2）.
（1）證明：易得
，
于是
,所以
(2) ,
設平面PCD的法向量
，
則
,即
.不防設
，可得
.可取平面PAC的法向量
于是
從而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值為
.
（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中
，由此得
.
由，故
所以，
，解得
，即
.
解法二：（1）證明：由
，可得
，又由
,
,故
.又
,所以.
(2)如圖，作
于點H，連接DH.由,
,可得
.
因此
,從而
為二面角A-PC-D的平面角.在
中，
,由此得
由（1）知
,故在
中，
因此
所以二面角
的正弦值為.
（3）如圖，因為
，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故
或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故
.在
中，
故
在
中，由
,
,
可得
.由余弦定理，
,
所以.
已知向量
（
），向量
，
，
且
.
（Ⅰ）求向量
；
（Ⅱ）若
，
，求
.
【解析】本試題主要考查了向量的數量積的運算，以及兩角和差的三角函數關系式的運用。
（1）問中∵，∴
，…………………1分
∵
，得到三角關系是
，結合
，解得。
（2）由，解得
，
，結合二倍角公式
，和
,代入到兩角和的三角函數關系式中就可以求解得到。
解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分
∵，∴
，即 ① …………2分
又 ② 由①②聯立方程解得，
，
5分
∴
……………6分
（Ⅱ）∵即，， …………7分
∴，
………8分
又∵， ………9分
， ……10分
∴
．
解法二: (Ⅰ)
，…………………………………1分
又
，∴
，即
，①……2分
又 ②
將①代入②中，可得
③ …………………4分
將③代入①中，得
……………………………………5分
∴
…………………………………6分
(Ⅱ) 方法一
∵
,，∴
，且
……7分
∴
，從而
. …………………8分
由(Ⅰ)知
，
； ………………9分
∴
. ………………………………10分
又∵
，∴
，
又，∴
……11分
綜上可得 
………………………………12分
方法二∵,，∴，且…………7分
∴.
……………8分
由(Ⅰ)知
，
.
…………9分
∴
……………10分
∵，且注意到
，
∴
，又，∴
………………………11分
綜上可得 …………………12分
（若用
，又∵ ∴ ，
已知數列
滿足
（I）求數列的通項公式；
（II）若數列
中
，前
項和為
，且
證明：
【解析】第一問中，利用
，
∴數列{
}是以首項a1+1，公比為2的等比數列，即
第二問中，
進一步得到得
即
即
是等差數列.
然后結合公式求解。
解：（I） 解法二、，
∴數列{}是以首項a1+1，公比為2的等比數列，即
（II） ………②
由②可得：
…………③
③－②，得 即 …………④
又由④可得
…………⑤
⑤－④得
即
是等差數列.
下面給出兩種不同的解法.
解法一：∵P(A)=
,P(B)=
,
∴P(A+B)=P(A)+P(B)=1.
解法二:A+B這一事件包括4種結果,即出現1,2,3和5,
∴P(A+B)=
.
請你判斷解法一和解法二的正誤.
⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為
，
．
⑴把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程；
⑵求經過⊙O1，⊙O2交點的直線的直角坐標方程．
【解析】本試題主要是考查了極坐標的返程和直角坐標方程的轉化和簡單的圓冤啊位置關系的運用
（1）中，借助于公式
，
，將極坐標方程化為普通方程即可。
（2）中，根據上一問中的圓的方程，然后作差得到交線所在的直線的普通方程。
解：以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．
(I)，，由得
．所以
．
即
為⊙O1的直角坐標方程．
同理
為⊙O2的直角坐標方程．
(II)解法一:由
解得
，
即⊙O1，⊙O2交于點(0,0)和(2,－2)．過交點的直線的直角坐標方程為y=－x．
解法二: 由,兩式相減得－4x-4y=0,即過交點的直線的直角坐標方程為y=－x
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