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設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，若|f（x）|≤|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f（x）為Ω函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f₁（x）=xsinx、f₂（x）=

e-x

ex+1

和f₃（x）=

x2

x2+1

中哪些是Ω函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對一切實數(shù)x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求證：函數(shù)f（x）一定是Ω函數(shù)；
（Ⅲ）求證：若a＞0，則函數(shù)f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函數(shù)．

記函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱以（x₀，y₀）為坐標的點是函數(shù)f（x）的圖象上的“穩(wěn)定點”．
（1）若函數(shù)f(x)=

3x-1

x+a

的圖象上有且只有兩個相異的“穩(wěn)定點”，試求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x）存在有限個“穩(wěn)定點”，求證：f（x）必有奇數(shù)個“穩(wěn)定點”．

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點（

3

2

，0）成中心對稱．
（1）證明：y=f（x）為周期函數(shù)，并指出其周期；
（2）若f（-1）=-2，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．