題目列表(包括答案和解析)
設
是半徑為
的圓周上一個定點，其中
為圓心，連接
，在圓周上等可能地任取一點
，連接
，則弦的長超過
的概率為_________．
R的概率為（ ）
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.
1.
2.
3.
4.25
5.
6.
7.
8.③
9.6
10.50%(填0.5，
都算對)
11.
12.＜
13.12
14.
或
二、解答題：本大題共6小題，計90分.
15.解:（Ⅰ）當
時，點P共有28個，而滿足
的點P有19個，
從而所求的概率為
………………………………………………………………………(7分)
（Ⅱ）當
時,由
構成的矩形的面積為
,而滿足
的區域的面積為
，故所求的概率為
……………………………………(14分)
16.證:(Ⅰ)連接
交
于
,連接
.
∵
分別是
的中點，∴
∥
且=,∴四邊形
是矩形.
∴是的中點………………………………………………………………………………(3分)
又∵
是
的中點,∴
∥
……………………………………………………………(5分)
則由
,
,得∥
………………………………………(7分)
(注:利用面面平行來證明的,類似給分)
(Ⅱ) ∵在直三棱柱
中，
⊥底面
,∴⊥
.
又∵
,即
⊥,∴⊥面
………………………(9分)
而
面,∴⊥……………………………………………………………(12分)
又
,∴
平面
……………………………………………………………(14分)
17. 解:(Ⅰ)由
,得
,所以
………………………………………………(4分)
則
,所以
……………………………………………………(7分)
(Ⅱ)方案一：選擇①③.
∵A=30°,a=1,
+1)b=0，所以
，則根據余弦定理，
得
，解得b=
,則c=
…………………(11分)
∴
…………………………………(14分)
方案二：選擇②③. 可轉化為選擇①③解決,類似給分.
(注：選擇①②不能確定三角形)
18. 解:（Ⅰ）
,即
,
,準線
,
……………………………………………………(2分)
設⊙C的方程為
,將O、F、A三點坐標代入得：
,解得
………………………………………………………(4分)
∴⊙C的方程為
……………………………………………………(5分)
（Ⅱ）設點B坐標為
,則
,整理得：
對任意實數
都成立……………………………………………(7分)
∴
,解得
或
,
故當變化時，⊙C經過除原點O外的另外一個定點B
……………………………(10分)
（Ⅲ）由B、
、
得
,
∴
,解得
……………………………………………(12分)
又
,∴
………………………………………………………………(14分)
又橢圓的離心率
（）……………………(15分)
∴橢圓的離心率的范圍是
………………………………………………………(16分)
19. (Ⅰ)證:因為對任意正整數
，
總成立,
令
，得
,則
…………………………………………(1分)
令
，得
(1) , 從而
(2),
(2)－(1)得
,
…………………………………………………………………(3分)
綜上得
,所以數列
是等比數列…………………………………………(4分)
（Ⅱ）正整數
成等差數列，則
,所以
,
則
……………………………………………………(7分)
①當
時，
………………………………………………………………(8分)
②當
時，
…………………………(9分)
③當
時，
……………………(10分)
（Ⅲ）正整數成等比數列，則
,則
,
所以
，
……………(13分)
①當
,即
時，
……………………………………………(14分)
②當
,即
時，
………………………………(15分)
③當
,即
時，
………………………………(16分)
20. 解:
(Ⅰ)當
時,
.
因為當
時,
,
,
且
,
所以當時,
,且
……………………………………(3分)
由于
,所以
,又
,
故所求切線方程為
,
即
…………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ) 因為
,所以
,則
當
時,因為
,
,
所以由
,解得
,
從而當
時,
……………………………………………(6分)
①
當
時,因為
,
,
所以由
,解得
,
從而當
時, …………………………………………(7分)
③當
時,因為
,
從而 一定不成立………………………………………………………………(8分)
綜上得,當且僅當
時,,
故
…………………………………………(9分)
從而當
時,
取得最大值為
…………………………………………………(10分)
(Ⅲ)“當
時,”等價于“
對恒成立”,
即“
(*)對恒成立” ……………………………………(11分)
①
當
時,
,則當
時,
,則(*)可化為
,即
,而當時,
,
所以
,從而適合題意………………………………………………………………(12分)
②
當
時,
.
⑴
當
時,(*)可化為,即,而,
所以,此時要求
…………………………………………………………(13分)
⑵
當
時,(*)可化為
,
所以
,此時只要求………………………………………………………(14分)
(3)當
時,(*)可化為
,即
,而
,
所以
,此時要求
…………………………………………………………(15分)
由⑴⑵⑶,得符合題意要求.
綜合①②知,滿足題意的
存在,且的取值范圍是
………………………………(16分)
數學附加題部分
21.A.解：因為PA與圓相切于點A,所以
.而M為PA的中點,
所以PM=MA,則
.
又
,所以
,所以
……………………(5分)
在
中,由
,
即
,所以
,
從而
……………………………………………………………………………(10分)
B．解:
,所以
=
……………………………(5分)
即在矩陣的變換下有如下過程,
,
則
,即曲線
在矩陣的變換下的解析式為
……(10分)
C．解:由題設知,圓心
,故所求切線的直角坐標方程
為
……………………………………………………………………………(6分)
從而所求切線的極坐標方程為
………………………………(10分)
D．證:因為
,利用柯西不等式,得
…………………………(8分)
即
………………………………………………………………………(10分)
22．解: (Ⅰ)以A為原點,AB、AC、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A－xyz，
則A(0，0，0),B(2，0，0),C(0，2，0),E(0，1，0),P(0，0，1),
所以
,
……………………………(4分)
故異面直線BE與PC所成角的余弦值為
……………………………………(5分)
(Ⅱ)作PM⊥BE交BE(或延長線)于M,作CN⊥BE交BE(或延長線)于N,
則存在實數m、n,使得
,
即
因為
,所以
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