題目列表(包括答案和解析)
如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)．（14分）如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在
軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)
，平行于
的直線
在
軸上的截距為
，交橢圓于
兩個(gè)不同點(diǎn)
（1）求橢圓的方程；
（2）求
的取值范圍；
（3）求證直線
與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形。
如圖，已知橢圓
的右焦點(diǎn)為
，點(diǎn)
是橢圓上任意一點(diǎn)，圓
是以
為直徑的圓．
（1）若圓過原點(diǎn)
，求圓的方程；
（2）寫出一個(gè)定圓的方程，使得無論點(diǎn)在橢圓的什么位置，該定圓總與圓相切,請寫出你的探究過程． 
如圖，已知橢圓
的離心率是
，
分別是橢圓
的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)
是橢圓的右焦點(diǎn)。點(diǎn)
是
軸上位于
右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足
．
（1）求橢圓的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)作軸的垂線
，再作直線
與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)
，直線
交直線于點(diǎn)
．求證：以線段
為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
的離心率是
，
分別是橢圓
的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)
是橢圓的右焦點(diǎn)。點(diǎn)
是
軸上位于
右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足
．
的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)；作軸的垂線
，再作直線
與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)
，直線
交直線于點(diǎn)
．求證：以線段
為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
說明：
一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則.
二、對計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.
三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分50分.
1. A 2. C 3. C 4.C 5.D 6.D 7. B 8. D 9. B 10. C
二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分20分.
11. 12.38 12. 5 13. 3量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image278.gif)
14. 量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image280.gif)
15. ②③
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數(shù)的倍角公式、兩角和公式等基本知識(shí)，考
查學(xué)生的運(yùn)算求解能力. 滿分13分.
解：（Ⅰ）由量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image282.gif)
，知量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image284.gif)
………………………（2分）
又量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image286.gif)
，得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image288.gif)
，
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image290.gif)
，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image292.gif)
………………………（5分）
故量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image294.gif)
………………………（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image296.gif)
，
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image298.gif)
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image300.gif)
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image302.gif)
………………………………（9分）
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image304.gif)
，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image306.gif)
當(dāng)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image308.gif)
，即量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image310.gif)
時(shí)，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image312.gif)
取得最大值為量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image314.gif)
． ……………（13分）
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image316.gif)
17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基本知識(shí)，考查空間想像能力，運(yùn)算求解能力和推理論證能力.
滿分13分.
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image317.gif)
解：（Ⅰ）證明：如圖，取量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image319.gif)
中點(diǎn)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image321.gif)
，連結(jié)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image323.gif)
，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image325.gif)
；
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image327.gif)
∥量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image330.gif)
，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image332.gif)
∥量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image334.gif)
，
又量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image336.gif)
，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image338.gif)
，
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image340.gif)
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image342.gif)
，…………（3分）
四邊形量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image344.gif)
為平行四邊形，
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image346.gif)
∥，
又量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image349.gif)
平面量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image179.gif)
，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image352.gif)
平面，
∥平面．
………………………（6分）
（Ⅱ）依題意知平面量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image357.gif)
平面量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image169.gif)
，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image360.gif)
，
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image362.gif)
平面，得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image365.gif)
又量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image367.gif)
，.
如圖，以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image370.gif)
為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系-xyz，
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image373.gif)
，可得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image375.gif)
、量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image377.gif)
、量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image379.gif)
，
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image381.gif)
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image384.gif)
，
由量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image386.gif)
得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image388.gif)
解得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image390.gif)
，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image392.gif)
．
………………………（9分）
設(shè)線段量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image181.gif)
上存在一點(diǎn)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image395.gif)
，其中量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image397.gif)
，則量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image399.gif)
，
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image401.gif)
，
依題意：量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image403.gif)
，即量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image405.gif)
，
可得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image407.gif)
，解得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image409.gif)
（舍去）．
所以上存在一點(diǎn)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image412.gif)
． …………（13分）
18．本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題與解決問題的能力，
考查應(yīng)用意識(shí). 滿分13分.
解：（Ⅰ）依題意，
銷售價(jià)提高后為6000（1+量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image048.gif)
）元/臺(tái)，月銷售量為量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image415.gif)
臺(tái)……………（2分）
則量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image417.gif)
……………………（4分）
即量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image419.gif)
． ……………………（6分）
（Ⅱ）量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image421.gif)
令量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image423.gif)
，得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image425.gif)
，
解得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image427.gif)
舍去）．
……………………（9分）
當(dāng)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image429.gif)
當(dāng)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image431.gif)
當(dāng)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image433.gif)
時(shí)，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image050.gif)
取得最大值．
此時(shí)銷售價(jià)為量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image436.gif)
元．
答：筆記本電腦的銷售價(jià)為9000元時(shí)，電腦企業(yè)的月利潤最大．…………………（13分）
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image438.gif)
19．本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力.
滿分13分
解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image148.gif)
的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），所以半焦距量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image153.gif)
=1.
因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.
所以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image442.gif)
，解得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image444.gif)
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image446.gif)
. …（4分）
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image448.gif)
（Ⅱ）（i）設(shè)直線量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image063.gif)
：量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image451.gif)
與聯(lián)立并消去得：量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image455.gif)
.
記量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image457.gif)
，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image459.gif)
，
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image461.gif)
，
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image463.gif)
. ……………（5分）
由A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image466.gif)
，得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image468.gif)
，
根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image470.gif)
（量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image472.gif)
，0），
得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image474.gif)
，即量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image476.gif)
.
所以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image478.gif)
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image480.gif)
即定點(diǎn)（1 ，
0）.
……………………………………（8分）
（ii）由（i）中判別式量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image483.gif)
，解得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image485.gif)
.
可知直線量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image487.gif)
過定點(diǎn)
(1,0).
所以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image490.gif)
……………（10分）
得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image492.gif)
, 令量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image494.gif)
記量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image496.gif)
，得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image498.gif)
，當(dāng)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image500.gif)
時(shí)，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image502.gif)
.
在量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image505.gif)
上為增函數(shù).
所以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image507.gif)
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image509.gif)
，
得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image511.gif)
.
故△OA1B的面積取值范圍是量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image513.gif)
.
……………（13分）
20. 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、等差數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用合理的推理證明解
決問題的方法，考查分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 滿分14分.
解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image515.gif)
，
所以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image517.gif)
.
………………（1分）
（i）當(dāng)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image519.gif)
時(shí)，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image521.gif)
.
（ii）當(dāng)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image523.gif)
時(shí)，由量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image525.gif)
，得到量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image527.gif)
，知在量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image529.gif)
上.
（iii）當(dāng)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image532.gif)
時(shí)，由，得到，知在量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image536.gif)
上.
綜上，當(dāng)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image539.gif)
時(shí)，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image541.gif)
遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí), 量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image545.gif)
遞增區(qū)間為量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image547.gif)
.
………………………………………（4分）
（Ⅱ）（i）因?yàn)?sub>量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image549.gif)
，
所以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image551.gif)
，即量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image553.gif)
，
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image555.gif)
，即量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image557.gif)
. ……………………………………（6分）
因?yàn)?sub>量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image559.gif)
，
當(dāng)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image561.gif)
時(shí)，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image563.gif)
，
當(dāng)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image565.gif)
時(shí)，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image567.gif)
，
所以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image569.gif)
.
…………………………（8分）
又因?yàn)?sub>量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image571.gif)
，
所以令量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image573.gif)
，則量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image575.gif)
得到量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image577.gif)
與量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image579.gif)
矛盾，所以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image581.gif)
不在數(shù)列量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image229.gif)
中. ………（9分）
（ii）充分性：若存在整數(shù)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image243.gif)
，使量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image245.gif)
.
設(shè)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image586.gif)
為數(shù)列量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image237.gif)
中不同的兩項(xiàng)，則量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image589.gif)
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image591.gif)
.
又量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image593.gif)
且,所以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image596.gif)
.
即量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image598.gif)
是數(shù)列的第量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image601.gif)
項(xiàng). ……………………（10分）
必要性：若數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)，
則量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image605.gif)
，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image607.gif)
，（量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image609.gif)
，為互不相同的正整數(shù)）
則量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image612.gif)
，令量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image614.gif)
，
得到量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image616.gif)
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image618.gif)
，
所以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image620.gif)
，令整數(shù)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image622.gif)
，所以. ……（11
分）
下證整數(shù)
若設(shè)整數(shù)量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image626.gif)
則量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image628.gif)
.令量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image630.gif)
，
由題設(shè)取量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image632.gif)
使量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image634.gif)
即量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image636.gif)
，所以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image638.gif)
即量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image640.gif)
與量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image642.gif)
相矛盾，所以.
綜上, 數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)的充要條件是存在整數(shù)，使.
……………………（14分）
21. （1）本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力， 滿分7分.
解：量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image649.gif)
，即量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image651.gif)
，
所以量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image653.gif)
得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image655.gif)
……………………（4分）
即M=量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image657.gif)
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image659.gif)
，由量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image661.gif)
得量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image663.gif)
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image665.gif)
.
或量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image667.gif)
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image669.gif)
=1量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image671.gif)
, 量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image673.gif)
. …………………（7分）
（2）本題主要考查圓極坐標(biāo)方程和直線參數(shù)方程等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.
解：曲線的極坐標(biāo)方程量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image259.gif)
可化為量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image678.gif)
,
其直角坐標(biāo)方程為量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image680.gif)
，即量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image682.gif)
. ……………（2分）
直線的方程為量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image685.gif)
.
所以，圓心到直線的距離量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image688.gif)
……………………（5分）
所以，量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image690.gif)
的最小值為量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image692.gif)
.
…………………………（７分）
（3）本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.
解：由柯西不等式：
量檢測――數(shù)學(xué)（理）.files/image694.gif)
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