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直線l：（m+1）x+2y-2m-2=0（m∈R）恒過定點C，以C為圓疏，2為半徑作圓C，
（1）求圓C方程；
（2）設點C關于y軸的對稱點為C¹，動點M在曲線E上，在△MCC'中，滿足∠C¹MC=2θ，△MCC'的面積為4tanθ，求曲線E的方程；
（3）點P在（2）中的曲線E上，過點P做圓C的兩條切線，切點為Q、R，求

PQ•

PR

的最小值．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C₁

x2

a2

+

y2

b2

=1以拋物線y2=4

3

x的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且相似比為2，求橢圓C₂的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線x2=

1

mn

y異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x²-4y²=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線C_b上，若存在求出函數f（b）=S_ABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

已知一次函數f（x）的圖象關于直線y=x對稱的圖象為C，且f[f（1）]=-1，若點(n，

an+1

an

)(n∈N+)在曲線C上，并有a₁=1，

an+1

an

-

an

an-1

=1(n≥2)
（1）求f（x）的解析式及曲線C的方程；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設bn=

an

(n+2)!

，求證：數列{b_n}的前n項和S_n＜

1

2

．