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（2013•薊縣二模）已知函數f（x）=-

1

3

x3+

1

2

(2a+1)x2-2ax+1，其中a為實數．
（Ⅰ）當a≠

1

2

時，求函數f（x）的極大值點和極小值點；
（Ⅱ） 若對任意a∈（2，3）及x∈[1，3]時，恒有ta²-f（x）＞

3

2

成立，求實數t的取值范圍．
（Ⅲ）已知g（x）=a²x²+ax+1，m（x）=

4

3

x3-(a2+

3

2

)x2+（2a+5）x-3，h（x）=f（x）+m（x），設函數q（x）=

g(x)，x≥0 h(x)，x＜0.

是否存在a，對任意給定的非零實數x₁，存在惟一的非零實數x₂（x₂≠x₁），使得q′（x₂）=q′（x₁）成立？若存在，求a的值；若不存，請說明理由．

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB中點．
（Ⅰ）證明CD⊥平面POC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值．
（Ⅲ）在側棱PC上是否存在點M，使得BM∥平面POD，若存在試求出

CM

PC

，若不存往，清說明理由．