題目列表(包括答案和解析)
用數學歸納法證明：
．
【解析】首先證明當n=1時等式成立，再假設n=k時等式成立，得到等式
，
下面證明當n=k+1時等式左邊
，
根據前面的假設化簡即可得到結果，最后得到結論．
已知函數f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若對一切x∈R，f(x) 
1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函數f(x)的圖像上去定點A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使
恒成立.
【解析】解：
令
.
當
時
單調遞減；當
時
單調遞增，故當
時，
取最小值
于是對一切
恒成立，當且僅當
. ①
令
則
當
時，
單調遞增；當
時，
單調遞減.
故當
時，
取最大值
.因此，當且僅當
時，①式成立.
綜上所述，
的取值集合為
.
（Ⅱ）由題意知，
令
則
令
，則
.當
時，
單調遞減；當
時，
單調遞增.故當
，
即
從而
，
又
所以
因為函數
在區間
上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在
使
即成立.
【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為
從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題，通過構造函數，研究這個函數的性質進行分析判斷.
已知
，（其中
）
⑴求
及
；
⑵試比較
與
的大小，并說明理由．
【解析】第一問中取
，則
；
…………1分
對等式兩邊求導，得
取
，則
得到結論
第二問中，要比較與的大小，即比較：
與
的大小，歸納猜想可得結論當
時，
；
當
時，
；
當
時，
；
猜想：當
時，運用數學歸納法證明即可。
解：⑴取，則；
…………1分
對等式兩邊求導，得
，
取，則。 …………4分
⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，
當時，；
當時，；
當時，；
…………6分
猜想：當時，，下面用數學歸納法證明：
由上述過程可知，
時結論成立，
假設當
時結論成立，即
，
當
時,
而
∴
即時結論也成立，
∴當時，成立。
…………11分
綜上得，當時，
；
當時，
；
當
時，
在數列
中，
記
（Ⅰ）求
、
、
、
并推測
；
（Ⅱ）用數學歸納法證明你的結論.
【解析】第一問利用遞推關系可知，
、
、
、
，猜想可得
第二問中，①當
時，
=
，又，猜想正確
②假設當
時猜想成立，即
，
當
時，
=
=
，即當時猜想也成立
兩步驟得到。
（2）①當時，=，又，猜想正確
②假設當時猜想成立，即，
當時，
=
=，即當時猜想也成立
由①②可知，對于任何正整數
都有成立
已知數列
的前
項和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用
關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結論。
解：(Ⅰ)當
時，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對偶式）設
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因為
，所以
.即
………10分
證法四：（數學歸納法）①當
時, 
,命題成立;
②假設
時,命題成立,即
,
則當
時,
即
即
故當時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
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