題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知數列
,其中
為實數，
為正整數.
（Ⅰ）證明：當
（Ⅱ）設
為數列
的前n項和，是否存在實數，使得對任意正整數n，都有 
若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
已知數列
,其中
為實數，
為正整數.
（Ⅰ）證明：當
（Ⅱ）設
為數列
的前n項和，是否存在實數，使得對任意正整數n，都有 
若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
已知數列
的前
項和為
，對一切正整數，點
都在函數
的圖象上，且在點處的切線的斜率為
.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若
，求數列
的前項和
；
（Ⅲ）設
，
，等差數列
的任一項
，其中
是
中最小的數，
，求數列的通項公式.
（本小題滿分14分）已知數列
中，
，
，其前
項和
滿足
.令
.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若
，求證：
（
）；
（Ⅲ）令
（
），求同時滿足下列兩個條件的所有
的值：①對于任意正整數，都有
；②對于任意的
，均存在
，使得
時，
.
（本小題滿分14分）已知數列
中，
，
，其前
項和
滿足
.令
.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若
，求證：
（
）；
（Ⅲ）令
（
），求同時滿足下列兩個條件的所有
的值：①對于任意正整數，都有
；②對于任意的
，均存在
，使得
時，
.
一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算.第小題5分，滿分50分.
1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B
二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，第小題5分，滿分25分.
11.10 12.30°（或） 13.2 14.0.98
15.（3，－2），（x＋2）2＋（y－3）2＝16（或x2＋y2＋4x－6y－3＝0）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設
A. B. C. D.
解：，，選C
2. 的展開式中常數項是
A.210 B. C. D.-105
解：，令得
所以常數項為
3.若集合
A. “”是“”的充分條件但不是必要條件
B. “”是“”的必要條件但不是充分條件
C. “”是“”的充要條件
D. “”既不是“”的充分條件也不是“”的必要條件
解：反之不然故選A
4.用與球心距離為1的平面去截面面積為，則球的體積為
A. B. C. D.
解：截面面積為截面圓半徑為1，又與球心距離為球的半徑是，
所以根據球的體積公式知，故D為正確答案．
5.在平面直角坐標系中，滿足不等式組的點的集合用陰影表示為下列圖中的
解：在坐標系里畫出圖象，C為正確答案。也可取點坐標檢驗判斷。
6.已知在R上是奇函數，且
A. B. C. D.
解：由題設
7.將函數的圖象F向右平移個單位長度得到圖象F′，若F′的一條對稱軸是直線則的一個可能取值是
A. B. C. D.
解： 平移得到圖象的解析式為,
對稱軸方程，
把帶入得，令，
8. 函數的定義域為
A. B.
C. D.
解：函數的定義域必須滿足條件：
9.從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數為
A.100 B.110 C.120 D.180
解：10人中任選3人的組隊方案有，沒有女生的方案有，
所以符合要求的組隊方案數為110種。
10.如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①②③④其中正確式子的序號是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
解：由焦點到頂點的距離可知②正確，由橢圓的離心率知③正確，故應選Ｂ．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡相應位置上.
11.一個公司共有1 000名員工，下設一些部門，要采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個容量為50的樣本，已知某部門有200名員工，那么從該部門抽取的工人數是 .
解：由分層抽樣方法可知從該部門抽取的工人數滿足
12.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知則A＝ .
解：由余弦定理可得,
13.方程的實數解的個數為 .
解：畫出與的圖象有兩個交點，故方程的實數解的個數為2個。
14.明天上午李明要參加奧運志愿者活動，為了準時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己，假設甲鬧鐘準時響的概率是0.80，乙鬧鐘準時響的概率是0.90，則兩個鬧鐘至少有一準時響的概率是 .
解：兩個鬧鐘都不準時響的概率是，所以至少有一準時響的概率是
15.圓的圓心坐標為 ， 和圓C關于直線對稱的圓C′的普通方程是 .
解：由題設，圓心坐標；關于直線對稱的圓C′圓心為，半徑相等，所以方程是
三、解答題：本大題共6分小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16.（本小題滿12分）
已知函數
（Ⅰ）將函數化簡成的形式，并指出的周期；
（Ⅱ）求函數上的最大值和最小值
解：(Ⅰ).
故的周期為｛k∈Z且k≠0｝.
(Ⅱ)由π≤x≤π，得.因為f(x)＝在[]上是減函數，在[]上是增函數.
故當x=時，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，
所以當x=π時，f(x)有最大值－2.
17.（本小題滿分12分）
已知函數（m為常數，且m>0）有極大值9.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率為-5的直線是曲線的切線，求此直線方程.
解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m,
當x變化時，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞,－m)
－m
(－m,)
(,+∞)
f’(x)
+
0
－
0
+
f (x)
極大值
極小值
從而可知，當x=－m時，函數f(x)取得極大值9，
即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,
依題意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.
又f(－1)＝6，f(－)＝，
所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，
即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.
18.（本小題滿分12分）
如圖，在直三棱柱中，平面側面
（Ⅰ）求證：
（Ⅱ）若，直線AC與平面所成的角為，二面角
解：(Ⅰ)證明：如右圖，過點A在平面A1ABB1內作AD⊥A1B于D，則
由平面A1BC⊥側面A1ABB1,且平面A1BC∩側面A1ABB1＝A1B，
得AD⊥平面
A1BC.又BC平面A1BC
所以AD⊥BC.
因為三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,
則AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,從而BC⊥側面A1ABB1,
又AB側面A1ABB1，
故AB⊥BC.
(Ⅱ)證法1：連接CD,則由(Ⅰ)知∠ACD就是直線AC與平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的頰角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=j.
于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝,
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ與∠AA1D都是銳角，所以θ＝∠AA1D.
又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋j＝∠AA1B＋j＝，故θ＋j＝.
證法2：由(Ⅰ)知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
設AB=c（c＜a＝，則B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),
A1(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,
,=(0,c,a)
設平面A1BC的一個法向量為n=(x,y,z),
則由
可取n＝（0，－a，c），于是
n?=ac＞0，與n的夾角b為銳角,則b與q互為余角.
sinq=cosb=,
cosj=
所以sinq=cosj=sin(),又0＜q，j＜，所以q+j=.
19.（本不題滿分12分）
如圖，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最小？
解：
解法1：設矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000. ①
廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0.
廣告的面積S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2=18500+
當且僅當25a＝40b時等號成立，此時b=,代入①式得a=120，從而b=75.
即當a=120，b=75時,S取得最小值24500.
故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.
解法2：設廣告的高為寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x－20，其中x＞20，y＞25
兩欄面積之和為2(x－20),由此得y=
廣告的面積S=xy=x()＝x,
整理得S=
因為x－20＞0，所以S≥2
當且僅當時等號成立，
此時有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，
即當x=140，y＝175時，S取得最小值24500，
故當廣告的高為140 cm，寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.
20（本小題滿分13分）
已知雙曲線的兩個焦點為
的曲線C上.
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）記O為坐標原點，過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程
解：(Ⅰ)解法1：依題意，由a2+b2=4，得雙曲線方程為（0＜a2＜4），
將點（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2，
故所求雙曲線方程為
解法2：依題意得，雙曲線的半焦距c=2.
2a=|PF1|－|PF2|=
∴a2=2，b2=c2－a2=2.
∴雙曲線C的方程為
(Ⅱ)解法1：依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6=0.
∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,
∴
∴k∈(－)∪(1,).
設E(x1,y1),F(x2,y2)，則由①式得x1+x2=于是
|EF|=
=
而原點O到直線l的距離d＝,
∴SΔOEF=
若SΔOEF＝，即解得k=±,
滿足②.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和
解法2：依題意，可設直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0. ①
∵直線l與比曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴
∴k∈(－)∪(1,). ②
設E(x1,y1),F(x2,y2)，則由①式得
|x1－x2|＝. ③
當E、F在同一支上時（如圖1所示），
SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=；
當E、F在不同支上時（如圖2所示），
SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝
綜上得SΔOEF＝，于是
由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝.
若SΔOEF＝2，即,解得k=±,滿足②.
故滿足條件的直線l有兩條，方程分別為y=和y=
21.（本小題滿分14分）
已知數列,其中為實數，為正整數.
（Ⅰ）證明：當
（Ⅱ）設為數列的前n項和，是否存在實數，使得對任意正整數n，都有 若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.
解： (Ⅰ)證明：假設存在一個實數l，使｛an｝是等比數列，則有,即
（）2=2矛盾.
所以｛an｝不是等比數列.
（Ⅱ）證明：∵
又由上式知
故當數列｛bn｝是以為首項，為公比的等比數列.
（Ⅲ）當由（Ⅱ）得于是
當時，，從而上式仍成立.
要使對任意正整數n , 都有
即
令
當n為正奇數時，當n為正偶數時，
于是可得
綜上所述，存在實數，使得對任意正整數，都有
的取值范圍為
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