題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分15分) 已知實數a滿足1＜a≤2，設函數f (x)＝
x3－
x2＋ax．
(Ⅰ) 當a＝2時，求f (x)的極小值；
(Ⅱ) 若函數g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同，
求證：g(x)的極大值小于等于10．
(本題滿分15分) 已知實數a滿足1＜a≤2，設函數f (x)＝
x3－
x2＋ax．
(Ⅰ) 當a＝2時，求f (x)的極小值；
(Ⅱ) 若函數g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同，
求證：g(x)的極大值小于等于10．
已知實數a滿足1＜a≤2，設函數f (x)＝
x3－
x2＋ax．
(Ⅰ) 當a＝2時，求f (x)的極小值；
(Ⅱ) 若函數g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同，
求證：g(x)的極大值小于等于10．
設函數f(x)＝(1－2x)10，則導函數f′(x)的展開式x2項的系數為________
已知實數a滿足1＜a≤2，設函數f (x)＝
x3－
x2＋a x．
(Ⅰ) 當a＝2時，求f (x)的極小值；
(Ⅱ) 若函數g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同，
求證：g(x)的極大值小于或等于10．
1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.B 8.C 9.A 10.C 11.C 12.D
13.(1－a) 14.2 15. 16.
17.解：(1)∵p，q共線，
∴(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，1分
∴sin2A＝.2分
∵cos Acos Bcos C＞0，∴A為銳角.3分
∴sin A＝，∴A＝.5分
(2)y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos6分
＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B8分
＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin(2B－)＋1.10分
∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，).11分
∴當2B－＝時，即B＝時，ymax＝2.12分
18.解：(1)由題意可知ξ甲～B(5，p1)，
∴Dξ甲＝5p1(1－p1)＝1分
⇒p－p1＋＝03分
⇒p1＝.4分
又?＝6，∴p2＝.6分
(2)分兩類情況：①共擊中3次概率C()2()6?C()()＋C??C()2＝.9分
②共擊中4次概率C()2?C()2＝.11分
所求概率為＋＝.12分
19.解：(1)由函數f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在區間[－1,1]上是單調遞減，在區間[1,2]上單調遞增，所以x＝1取得極小值.1分
∴f′(1)＝0，∴－1＋2＋2a－2＝0，3分
∴a＝.4分
(2)由(1)知f(x)＝－x4＋x3＋x2－2x－2，
∴f′(x)＝－x3＋2x2＋x－2.5分
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，x＝2.6分
∴函數f(x)有極大值f(－1)＝－，f(2)＝－，極小值f(1)＝－.8分
關于x的方程f(2|x|－1)＝m(x≠0)有六個不同的實數解，令2|x|－1＝t(t＞0)，
即關于t的方程f(t)＝m在t∈(0，＋∞)上有三個不同的實數解.9分
在t∈(0，＋∞)上函數f(t)的圖象與直線y＝m的圖象在t∈(0，＋∞)上有三個不同的交點，而f(t)的圖象與f(x)的圖象一致.11分
又f(0)＝－2，由數形結合可知，－＜m＜－.12分
20.解：(1)延長CG交AB于N，∵G是△ABC的重心，∴N是AB的中點.1分
∵∠ACB＝90°，∴CN＝AB＝6，∴CG＝CN＝4.2分
作ME∥GC交DC于E，∴∠EMB是異面直線GC與BM所成的角或補角.3分
∵M是DG的中點，ME＝GC＝2，
BE＝＝＝2.4分
過M作MH⊥GC于H，MH⊥平面ABC，∴MH＝2，
∴MB2＝MH2＋HB2＝4＋4＋36－2?2?6?cos 60°＝32，
∴cos∠EMB＝＝－.5分
∴異面直線GC與BM所成的角為arccos.6分
(2)＋＋＝－(＋＋)，
∵G是△ABC的重心，
∴＋＋＝3.7分
∴(＋＋)?＝－3?.8分
△DGC是等腰直角三角形，DG＝CD＝4.9分
設MG＝x，則MD＝4－x，
∴－3?＝－3||||cos 180°＝3?x?(4－x)10分
≤3()2＝24.11分
∴(＋＋)?的最大值是24.
(當且僅當M為GD的中點時取得).12分
(備注：以上各小題都可以通過建立空間直角坐標系求解，建議參照給分)
21.解：(1)由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，
點P的軌跡S是以F1、F2為焦點的雙曲線右支.1分
由c＝2,2a＝2，∴b2＝3.2分
故軌跡S的方程為x2－＝1(x≥1).4分
(2)當直線l的斜率存在時，設直線方程為y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)與雙曲線方程聯立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.
∴解得k2＞3.5分
∵?＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2
＝＋m2.6分
∵MP⊥MQ，∴?＝0，
故得3(1－m2)＋k2(m2－4m－5)＝0對任意的k2＞3恒成立，
∴解得m＝－1.7分
當m＝－1時，MP⊥MQ，
當直線l的斜率不存在時，由P(2,3)，Q(2，－3)及M(－1,0)知結論也成立.
綜上，當m＝－1時，MP⊥MQ.8分
(3)由(1)知，存在M(－1,0)使得MP⊥MQ，
∴∠AEP＝∠MEF＝∠BQF，∴△PAE～△FBE，
∴＝.9分
|AE|?|FB|＝|AP|?|BQ|＝?＝|PF2|?|OF2|，
|PF2|＝ex1－a＝2x1－1，|PF2|＝ex2－a＝2x2－1，
∴|AE||FB|＝(2x1－1)(2x2－1)10分
＝[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－＋
＝－＋＝＋＝＋＞.
當斜率不存在時|AE|?|AF|＝，∴λ的最小值為.11分
此時，|PQ|＝6，|MF|＝3，S△PMQ＝|MQ|?|PQ|＝9.12分
22.解：(1)由An＝(an－1)，An＋1＝(an＋1－1)，1分
∴an＋1＝(an＋1－an)，即＝3，2分
且a1＝A1＝(a1－1)，
得a1＝3.3分
∴數列{an}是以3為首項，3為公比的等比數列.4分
通項公式為an＝3n.5分
(2)∵2nln an＝2nln 3n＝(nln 3)?2n
＝2nln 3?2n－1＝2nln 3(1＋1)n－16分
＝2nln 3(C＋C＋…＋C)7分
＝2nln 3(nC＋nC＋nC＋…＋nC)8分
＝2nln 3(C＋2C＋…＋kC＋…nC)9分
＝(2ln 3)C＋(2ln 3)?2C＋…＋(2ln 3)?kC＋…＋(2ln 3)?nC.12分
故存在等差數列{cn}，cn＝(2ln 3)?n對一切正整數n∈N*，c1C＋c2C＋…＋cnC＝2nln an都成立.14分
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