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設定義在R的函數，R. 當時，取得極大值，且函數的圖象關于點對稱.
（I）求函數的表達式；
（II）判斷函數的圖象上是否存在兩點，使得以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標在區間上，并說明理由；
 （III）設，（），求證：.

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設定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx，當時，f（x）取得極大值，并且函數y=f'（x）的圖象關于y軸對稱．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若曲線C對應的解析式為，求曲線C過點P（2，4）的切線方程；
（3）（實）過點可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．

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設定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx，當x=-時，f（x）取得極大值，并且函數y=f′（x）的圖象關于y軸對稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）若曲線C對應的解析式為，求曲線過點P（2，4）的切線方程．

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一、選擇題（本大題共有8個小題，每小題5分，共40分；在每個小題給出的四個選項中有且僅有一個符合題目要求的）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

D

C

C

A

C

C

A

二、填空題（本大題共有6個小題，每小題5分，共30分；請把答案填在相應的位置）

題號

9

10

11

12

13

14

答案

8,70

三、解答題

15．（本題滿分13分）

解：（1）

（2）

當時，此時，為直角三角形；

當時，為直角三角形。

16. （本題滿分13分）

解：（1）向上的點數互不相同的概率為

（2）向上的點數之和為6的結果有

共10中情況，

所以

（3）因為每次拋擲骰子，向上的點數為奇數的概率為

所以根據獨立重復試驗概率公式得

17．（本題滿分13分）

    解：解答一：（1）在菱形中，連接則是等邊三角形。

（2）

              （3）取中點，連結

     解法二：（1）同解法一；

            （2）過點作平行線交于,以點為坐標原點,建立如圖的坐標系

                   二面角的大小為

     （3）由已知，可得點

          即異面直線所成角的余弦值為

18．（本題滿分13分）

解：（1）將函數的圖象向右平移一個單位，得到函數的圖象，

        函數的圖象關于點（0，0）對稱，即函數是奇函數，

        由題意得：

        所以

   （2）由（1）可得

        故設所求兩點為

        滿足條件的兩點的坐標為：

19. （本題滿分14分）

解：（1）由，

設

則

由知，拋物線C在點N處是切線的斜率

因此，拋物線C在點N處的切線與直線AB平行。

（2）假設存在實數，使得，則

由M是線段AB的中點。

由軸，知

解得（舍去）

存在實數，使得

20. （本題滿分14分）

   解：（1）由題意得

（2）正整數的前項和

解之得

當時，

以上各式累加，得

（3）在（1）和（2）的條件下，

當時，設，由是數列的前項和

綜上

因為恒成立，所以小于的最小值，顯然的最小值在時取得，即

滿足的條件是

解得