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已知定義域為的函數同時滿足以下三個條件：
①對任意的，總有；
②；
③當，且時，成立．
稱這樣的函數為“友誼函數”．
請解答下列各題：
(1)已知為“友誼函數”，求的值；
(2)函數在區間上是否為“友誼函數”？請給出理由；
(3)已知為“友誼函數”，假定存在，使得，且，求證：.

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一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．

二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數．

一．選擇題：CCDAB   CBDAD

1．則選C.

2．將各選項代入檢驗易得答案選C.

3．由函數以為周期，可排除A、B，由函數在為增函數，可排除C,故選D。

5．正確命題有②、④,故選B.

6．或

或，故選C。

7．將圓的方程化為標準方程得，由數形結合不難得出所求的距離差為已知圓的直徑長.,故選B.

8．該程序的功能是求和,因輸出結果，故選D.

9．如圖設點P為AB的三等分點，要使△PBC的面積不小于，則點P只能在

AP上選取，由幾何概型的概率

公式得所求概率為.故選A.

10．如圖：易得答案選D.

二．填空題：11.800、20％；12. 3；13. ①③④⑤；14. ； 15.

11．由率分布直方圖知，及格率＝＝80％，

及格人數＝80％×1000＝800，優秀率＝％.

12．由得

由，得

13．顯然①可能，②不可能，③④⑤如右圖知都有可能。

14．在平面直角坐標系中，曲線和分別表示圓和直線，易知＝

15． C為圓周上一點，AB是直徑，所以AC⊥BC，而BC＝3，AB＝6，得∠BAC＝30°,進而得∠B＝60°，所以∠DCA＝60°，又∠ADC＝90°，得∠DAC＝30°，

三．解答題：

16．解：（1）

              ------------------------4分

（2）∵，

∴,

由正弦定理得：

∴------------6分

如圖過點B作垂直于對岸，垂足為D,則BD的長就是該河段的寬度。

在中，∵,------------8分

∴＝

       （米）

∴該河段的寬度米。---------------------------12分

17．解：（1）設，（）由成等比數列得

，----------------①,    得

∵  ∴---------------②

由①②得，  ∴-----------------------------4分

∴，顯然數列是首項公差的等差數列

∴＝------------------------------------6分

[或]

（2）∵

∴＝------------8分

2＝

－＝＝---10分

∴＝。------------------------------------------12分

18．(1)解：∵

∴且,

∴平面------------ ----------------2分

在中， ,

中，

∵,

∴.--------------4分

(2)證法1：由（1）知SA=2, 在中，---6分

∵,∴-------------------8分

〔證法2：由（1）知平面，∵面，

∴,∵,,∴面

又∵面，∴〕

(3) ∵

∴為二面角C-SA-B的平面角---------10分

在中，∵

∴,

∴即所求二面角C-SA-B為-------------------------14分

19．解：（1）依題意知，動點到定點的距離等于到直線的距離，曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線………………………………2分

　　　　∵      ∴　

∴　曲線方程是………4分

（2）設圓的圓心為，∵圓過，

∴圓的方程為　　……………………………7分

令得：　　

設圓與軸的兩交點分別為，

方法1：不妨設，由求根公式得

，…………………………10分

∴

又∵點在拋物線上，∴，

∴　，即＝4--------------------------------------------------------13分

∴當運動時，弦長為定值4…………………………………………………14分

　〔方法2：∵，　

∴

　又∵點在拋物線上，∴， ∴　　

∴當運動時，弦長為定值4〕

20. 解：設AN的長為x米（x >2）

       ∵，∴|AM|＝

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝ ------------------------------------- 4分

（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，

       ∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0

       ∴       即AN長的取值范圍是----------- 8分

（2）令y＝，則y′＝  -------------- 10分

∵當，y′< 0，∴函數y＝在上為單調遞減函數，

∴當x＝3時y＝取得最大值，即（平方米）

此時|AN|＝3米，|AM|＝米      ---------------------- 12分

21．解：

（1） 

---------------2分

當時，函數有一個零點；--------------3分

當時，，函數有兩個零點。------------4分

（2）令，則

 ，

在內必有一個實根。

即方程必有一個實數根屬于。------------8分

(3)假設存在，由①得

由②知對,都有

令得

由得，

當時，，其頂點為（－1，0）滿足條件①，又對,都有，滿足條件②。

∴存在，使同時滿足條件①、②。------------------------------14分