題目列表(包括答案和解析)
設數列
的各項均為正數.若對任意的
，存在
，使得
成立，則稱數列為“Jk型”數列．
（1）若數列是“J2型”數列，且
，
，求
；
（2）若數列既是“J3型”數列，又是“J4型”數列，證明：數列是等比數列.
【解析】1）中由題意，得
，
，
，
，…成等比數列，且公比
，
所以．
（2）中證明：由{
}是“j4型”數列，得
，…成等比數列，設公比為t. 由{}是“j3型”數列，得
，…成等比數列，設公比為
；
，…成等比數列，設公比為
；
…成等比數列，設公比為
；
已知函數
（
為實數）.
（Ⅰ）當
時，求
的最小值；
（Ⅱ）若在
上是單調函數，求的取值范圍.
【解析】第一問中由題意可知：
. ∵ ∴
∴
.
當
時，
；
當
時，
. 故
.
第二問
.
當
時，
,在上有，遞增，符合題意；
令
，則
，∴
或
在上恒成立.轉化后解決最值即可。
解：(Ⅰ) 由題意可知：. ∵ ∴ ∴.
當時，；
當時，. 故.
(Ⅱ) .
當時，,在上有，遞增，符合題意；
令，則，∴或在上恒成立.∵二次函數的對稱軸為
，且
∴
或
或
或
或
. 綜上
若函數
在定義域內存在區間
，滿足在上的值域為，則稱這樣的函數為“優美函數”.
（Ⅰ）判斷函數
是否為“優美函數”？若是，求出
；若不是，說明理由；
（Ⅱ）若函數
為“優美函數”，求實數
的取值范圍．
【解析】第一問中，利用定義，判定由題意得
，由
，所以
第二問中， 由題意得方程
有兩實根
設
所以關于m的方程
在
有兩實根，
即函數
與函數
的圖像在上有兩個不同交點，從而得到t的范圍。
解（I）由題意得，由，所以 （6分）
（II）由題意得方程有兩實根
設所以關于m的方程在有兩實根，
即函數與函數的圖像在上有兩個不同交點。
已知函數
在
取得極值
（1）求
的單調區間（用
表示）；
（2）設
，
，若存在
，使得
成立，求的取值范圍.
【解析】第一問利用
根據題意
在取得極值, 
對參數a分情況討論，可知
當
即
時遞增區間: 
遞減區間: 
,
當
即
時遞增區間: 
遞減區間: 
,
第二問中，
由(1)知: 在
，
，
在
從而求解。
解: 
…..3分
在取得極值, ……………………..4分
(1) 當即時 遞增區間: 遞減區間: ,
當即時遞增區間: 遞減區間: ,
………….6分
(2) 由(1)知: 在，
，
在
……………….10分
, 使成立
得: 
已知
中，內角
的對邊的邊長分別為
，且
（I）求角
的大小；
（II）若
求
的最小值．
【解析】第一問，由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，即sin(B+C)=2sinAcosB，
第二問，
三角函數的性質運用。
解：（Ⅰ）由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，即sin(B+C)=2sinAcosB，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
,
，則當
,即
時，y的最小值為
．
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