題目列表(包括答案和解析)
設(shè)△
的內(nèi)角
所對邊的長分別為
，且有
（Ⅰ）求角A的大小；
(Ⅱ)若
，
，
為
的中點，求
的長。
【解析】（1）由題，，則
，故
，即
.
（2）因，，因為的中點，故
，則
，所以
如圖1，在
中，
，D,E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將
沿DE折起到
的位置，使
，如圖2.
（Ⅰ）求證：DE∥平面
（Ⅱ）求證：
（Ⅲ）線段
上是否存在點Q，使
？說明理由。
【解析】（1）∵DE∥BC，由線面平行的判定定理得出
（2）可以先證
，得出
，∵∴
∴
(3)Q為的中點，由上問，易知
,取
中點P，連接DP和QP，不難證出
，
∴
∴
,又∵∴
數(shù)列
首項
，前
項和
滿足等式
（常數(shù)
，
……）
（1）求證：為等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列的公比為
，作數(shù)列
使
（……），求數(shù)列的通項公式.
（3）設(shè)
，求數(shù)列
的前項和
.
【解析】第一問利用由得
兩式相減得
故
時，
從而
又
即
，而
從而
故
第二問中，
又
故為等比數(shù)列，通項公式為
第三問中，
兩邊同乘以
利用錯位相減法得到和。
（1）由得
兩式相減得
故時，
從而 ………………3分
又 即，而
從而 故
對任意
，為常數(shù)，即為等比數(shù)列………………5分
（2） ……………………7分
又故為等比數(shù)列，通項公式為………………9分
（3）
兩邊同乘以
………………11分
兩式相減得
已知曲線C:
(m∈R)
（1） 若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，求m的取值范圍；
（2） 設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G.求證：A，G，N三點共線。
【解析】（1）曲線C是焦點在x軸上的橢圓，當(dāng)且僅當(dāng)
解得
，所以m的取值范圍是
(2)當(dāng)m=4時，曲線C的方程為
，點A,B的坐標(biāo)分別為
，
由
，得
因為直線與曲線C交于不同的兩點，所以
即
設(shè)點M，N的坐標(biāo)分別為
，則
直線BM的方程為
，點G的坐標(biāo)為
因為直線AN和直線AG的斜率分別為
所以
即
,故A，G，N三點共線。
設(shè)函數(shù)
，其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）記曲線
在點
（其中
）處的切線為
，與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
，求的最大值.
【解析】第一問利用由已知
，所以
，
由
，得
，
所以，在區(qū)間
上，
，函數(shù)
在區(qū)間上單調(diào)遞減；
在區(qū)間
上，
，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
第二問中，因為
，所以曲線在點
處切線為：
.
切線與軸的交點為
，與軸的交點為
，
因為，所以
，
， 在區(qū)間
上，函數(shù)
單調(diào)遞增，在區(qū)間
上，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，當(dāng)
時，有最大值，此時
，
解：（Ⅰ）由已知，所以，
由，得， 所以，在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（Ⅱ）因為，所以曲線在點處切線為：.
切線與軸的交點為，與軸的交點為，
因為，所以
，
， 在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時，有最大值，此時，
所以，的最大值為
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